Question

:e

数3 4step 例題9
連続性と微分可能の問題の質問です

微分可能性を調べる際に→+0と→-0で調べないで一括で→0でやってしまっていいのはなぜなんでしょうか？
一定の値に収束するかどうかを調べるなら両方からするべきではないのでしょうか？

微分可能のあたり休んじゃってまだあまり理解が深くないのでよかったらご回答お願いします。

第1節導関数
39
例題 次の関数の x=0 における連続性と微分可能性を調べよ。
x=0 のとき f(x)=xsin1, f(0)=0
XC
指定義に従って考える。
連続性 limf(x) = f (0) すなわち limxsin = 0 となるかどうか。
1
x→0
x→0
x
微分可能性 lim
f(0+h)-f(0)
が一定の値に収束するかどうか。
h→0
h
解答 0ssin/1/21であるから
|≦1
0xsin/12/11x1
|x|
XC
lim|x|=0.であるからlinxsin 1/21=0
x→0
x→0
XC
すなわち limxsin- 0
x→0
1
x
よって, limf(x)=0=f(0) となるから, f(x) は x=0 で連続である。
x→0
f(0+h)-f(0)
f(h)
また.
lim
= =lim
h→0
h
h→0
h
hsin
h
=lim
h→0
h
1
=limsin
h→0
h
1
→0 のとき sin / は振動し,一定の値には収束しない。
h
ゆえに, f(x) は x=0で 微分可能でない。 答

微分

Answer 1

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じくじ

そうですね。丁寧に記述するなら
x→+0の場合とx→-0の場合を区別して
x→+0(xsin1/x)＝x→-0(xsin1/x)＝0
などと書くべきです。

しかし、今回の問題は、両方の場合を分けて書くならば、全く同じ議論•計算を書くことになってしまいます。解答を作った方はそれが面倒だったので、「x→+0(xsin1/x)＝x→-0(xsin1/x)＝0」という意味で
x→0(xsin1/x)＝0とまとめて書くなどしたのでしょうね

:e

すみません！コメントをし忘れていました。
1つでどっちもできる時はいいのですね、、
回答ありがとうございました！🙇‍♀️