Question

波瑠

極限の問題です。(1)のr >1の場合、解説ではlim n→∞ r^n=∞(赤い部分)としていますが、(2)では逆数をとって0に収束させています。3枚目の写真の赤い部分のように(1)のr >1の場合も逆数をとって解くのはなぜダメなのですか？　解説お願いします。

{2+rn}
1
mn+2
*(2)
r≠±1 のとき
rn-1
(1) r>0 のとき
(3) r≠0 のとき
1
n

(1) [1] 0<<1のとき
limy" = 0
00
1
1
ゆえに
lim
=
=
801
2+r"
よって, 1/12に収束する。
[2] r=1のとき
limy"=1
2+0
81m
1
ゆえに
lim
8
2+r"
2+1
よって、 に収束する。
[3] r>1のとき
lim,*=c
718
1-3
1
ゆえに
lim
=0
12+1"
よって、 0 に収束する。
(2) [1]
>1 すなわちく 1,1<rのとき
| <1であるから lim
+2
ゆえに lim
781-1
(=゜
=lim
20
1+2 (1)
1-(1)
よって、 1に収束する。
=1+0=1
[2] <1 すなわち -1<r<1のとき
lim r=0
218
ゆえに
lim
r+2 0+2
=
=-2
-1 0-1
よって、2に収束する。

(1)r>
.(2)
2thn
(ii) 0 < r < 1
(iii) = 1
r
=0より
4700
Winker
kid h<-T
lin
4-700276"
(ii) oral lim j" =0
470 279
2
(ii) = 1 tim that
470
Jin
G20 2fha
5-70025
1972
0より
1-76
け
nzo.
一番
(i) /H < him pa o
2
lon
4250
-2
+9+2
(16) K-1 in (f/4) = 0 £4
12
4-700 FA-1
このより
++ 2/3
9-200
cl

Answer 1

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フラッグ

身も蓋もない話かもしれませんが、(2)〔1〕の場合、
r^nのままでは処理できず、
(1/r)^nを考える「必要がある」
からやっているのです。
(1)〔1〕でも出来なくはありませんが、何だか
簡単な問題を、わざわざ難しく解いている
気がします。r^nのままでも問題なく処理できるから
(1/r)^nにする必要はないのです。
質問はありますか？

波瑠

解説ありがとうございます。追加質問失礼します(2)の[1]の場合なぜr^nのままだと処理できないんですか…？簡単なところからの質問ですみません。

フラッグ

(2)〔1〕r<-1、1<rのときは
r^nは発散(特にr<-1のときは振動)します。それが
分母・分子の両方にあるので(多少不正確な言い方かもですが)いわゆる「不定形」になります。不定形は、当然ながら、それを解消する必要があります。だから1/rを作り出すのです。数列｛r^n｝の極限については教科書or参考書を復習して下さい。分からなければ訊いてくださってもいいです。

波瑠

理解できました。不定形だと1/rを作り出すのですね。解説ありがとうございます。

フラッグ

今後の勉強で、今日の私の説明に筋が通らぬ部分があると感じたときはご連絡下さい。