Question

みかん

微積分の問題で(1)についてなんですが、赤線部の虚数解の場合を考えなくていい理由が分からないので教えて欲しいです🙇‍♀️

18 2021 年度 数学
4
以下の問いに答えよ。
東北大文系前期
(1) 3 次関数y=x+x2のグラフと 2次関数 y=x2 +4 +16 のグラフの共
通接線 (どちらのグラフにも接する直線) は2本ある。 それらの方程式を求
めよ。
R0011
(2) (1) で求めた2本の共通接線と 2次関数 y = x2 + 4x + 16のグラフで囲ま
れた部分の面積を求めよ。

34 2021年度 数学<解答>
の面積
√3 v3
1xOP XOQ sin-1*** √3
求めるのに、扇形の面積から、正三角形の面積を引いたが、三角形OPQ
東北大・文系前期
2
V33
2
×
2
3
を引いてもよい。ちなみに、1辺の長さがαの正三角形の面積は
である。
解答
4
4a²
発想題意は把握しやすい。 共通接線と面積を求める問題で
ある。 なお、面積を求めるときに, 3次関数のグラフは必要とし
ない。
/
(1) y=x+x2のグラフ上の点 (a, a' + α2) における接線の方程
考える。 あるいは, 3次関数の次関数のグラフ
式を作る。 2次関数でも同様の方程式を作り,二者が一致すると
に接すると考えてもよい。
(2) 放物線と2本の共通接線との接点の座標, 2接線の交点の座
標を求めて図を描く。 面積は定積分の計算になるから,計算ミス
に注意しよう。
(1) y=x+x2のグラフ上の点 (a,d+α2) における接線の方程
式は,y'=3x2+2x より
y- (a³+a²) = (3a²+2a) (x-a)
すなわち
y= (3a²+2a) x-2a3-a²
…①
である。 y=x2+4x + 16のグラフ上の点 (b, b2+46 +16) における接線の
方程式は, y'=2x+4より
y- (b2+46 +16) = (264)(x-b)
すなわち
y=(26+4)x-b2+ 16 ...... ②
である。 ①と②が同一であるための条件は
3a2+2a =2b+4
③かつ-2a-α?= -6°+16………④
が成り立つことである。 ③より
6=1/2(3
b==(3a²+2a-4)....5
東北大
これ
整

東北大文系前期
これに代入すると
-2a3-a²=-
1
理して
(30
(3a²+2a-4)2+16
2021年度 数学 <解答> 35
9a+4a³-24a2-16a-48=0
となる。この4次方程式は α=±2を解にもつので、 左辺は (a+2) (-2)
を因数にもつ。よって
(a+2) (a-2) (9a²+4a+12)=0
となる。 92+4a+12=0は, 判別式をDとすると
D=22-9×12=104<0
4
(
となり、実数解をもたないから,⑥の実数解は,α=±2である。
①より,a=2のときy=16x-20, α=-2のときy=8x+12となるので
求める2本の接線の方程式はが
y=16x-20,y=8x + 12
である。金間が
･････(答)
(注) 接線 ① 2次関数 y=x+4x + 16のグラフに接すると考えると, 方
程式
x 2 + 4x + 16 = (3a2+2a) x-243-2
すなわち
x2+ (4-3a2-2a) x +2a° + α + 16 = 0
が重解をもつ条件を求めることになる。 (判別式) = 0 は
(4-3a2-2a) 2-4 (2a3+ a²+16)=0
となり,この式を展開 整理すると⑥と同じ方程式になる。
(2)⑤より,a=2のときb=-(12+4-4)=6,4=-2のとき
b=/12 (12-4-4)=2であるから、2次関数y=x+4+16のグラフ上の接
点の座標は (676) (228) である。 また, 2本の接線y=16-20,
y = 8x + 12の交点の座標は
16x-20=8x+12
を解いてx=4,このときy=44より (4,44)である。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

aは関数のグラフ上の点のx座標なので、実数です
高校では関数は実数の範囲で考えます

よって、⑥の実数解を考えていることになります

みかん

そうなんですね！
ありがとうございます🙇🏻‍♀️‪‪´-