Question

むにゅたん

(2)の(ii)の青線部について、なぜ6-tの二乗じゃないのか、分からないので、教えてください🙇‍♀️

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【3】 関数f(x)=x-4x + 10 に対し, 放物線C:y=f(x)の頂点の座標を (a, b) とす
る。次の問いに答えよ. ただし, (1) は結果のみを記入し,(2),(3)は結果のみではなく、
考え方の筋道も記せ.
(1)(i) a bの値をそれぞれ求めよ.
(i)-1≦x≦3におけるf (x) の最大値と最小値をそれぞれ求めよ.
(2) tを実数の定数とする.
頂点の座標が (a+t, b-t°) となるようにCを平行移動してできる放物線を K
とし,Kの方程式をy=g(x) とする.
(i) Kがx軸の負の部分と接するとき, tの値を求めよ.
(Kが第3象限と第4象限の両方を通るとき, tのとり得る値の範囲を求めよ.
(Ⅲ)Kが第3象限を通り, かつ第4象限を通らないとき,tのとり得る値の範囲を
求めよ.
なお,「象限」とは座標軸によって区切られた座標平面の4つの部分 (座標軸は
含まない)のことであり, 第1~第4象限の位置は下図の通りである.
y ↑
第2象限 第1象限
○
x
第3象限 第4象限
(3)(2)のg(x)において 0≦t≦3 とする.
また,xが3t≦x≦12-tの範囲を動くときのg(x)の最小値をm(t) とする.
(i) (t)をt を用いて表せ.
(i) t0≦≦3の範囲を動くときのm (t) のとり得る値の範囲を求めよ.
考え方
(1)(i) f(x) を (x-p)2 +gの形に整理します .
(ii) Cのグラフをかいて, -1≦x≦3 の部分を調べます.
(2)(i) 頂点がx軸の負の部分にある, と言い換えられます.
() 第3象限と第4象限の境で, 放物線Kはy軸の負の部分を通過することに注目します。
() K のグラフをかき, (i), (ii) を参考にしてグラフに関する条件を考えます.
(3)(i) y=g(x) のグラフをかき,その軸と定義域 3t≦x≦12-tの位置関係を調べます。
(i)(i)で求めたm(t)はtの関数であり, グラフをかいて調べられます。
【解答】
(i)
a=2, b=6
(ii)
最大値 15, 最小値 6
【(1)の解説】
(50点)
(1)(i)
f(x) = x2 - 4x +10 = (x-2)2 + 6
であるから,放物線 C:y=f(x)の頂点の座標は (26) である.すなわち
a=2, b=6
て
である.
カ
■y=x2+
+px+gは
y = (x + 2)² - ²+a
y=
と変形できる (平方完成)

放物線Cの概形は下図の実線部分である.
-1 2 3
y=f(x)
◆放物線Cの軸x=2は区間
-1≦x≦3に含まれるので,f(x)
はx=2で最小になる.また,
直線x = 3よりも直線 x = -1
の方が軸から遠くにあるので
f(x)はx=-1で最大になる.
よって,
最大値はf(-1)=(-1)^-4(−1) + 10 = 15
最小値はf(2) = 6
である.
【(2)(3)の解答】
◆最小値は, 頂点のy座標である.
(2)KはCを平行移動してできる放物線であり,その頂点は(a+t, b-t2),
つまり (2+t, 6-12) である.xの係数は1であるから,
である.
g(x)={x-(2+t)}2+6-12
=x2-2(2+t)x + 4t + 10
(i) Kがx軸の負の部分と接するための条件は
[6-t²=0
◆平行移動でx2の係数は変わら
ない.
[2+t<0
すなわち, t2=6かつt <-2であるから, 求める
の値は
t=-√6
K
◆Kの頂点について
「 ( y 座標) = 0
N
| (x座標) < 0
2+t
0x
(答)
(i)Kが第3象限と第4象限の両方を通るための条件は
g(0)<0
すなわち
4t + 10 < 0
である. よって, 求める tの値の範囲は
5
t<-
2
y ^
◆(y切片)<0
( (注) 1°)
K
0
x
(答)
4t+ 10
() K が第3象限を通り第4象限を通らないための条件は
[2+t < 0
6-t2<0
4t + 10≧0
である. ①③ より 1/2st<-2,
また②は
t°>6⇔t <-√6√6 <t
である.
......①
y A
......2
K
③
• 4t + 10
2+t
0x
6-t2
5
-√6 -2 √6
t
よって、求めるもの値の範囲は
-≤t<-√6
◆Kの頂点 (u, v) と y切片につ
いて
[u < 0
30<0
l (y切片) ≧0
2√6号に注意する。