Question

りんご

この問題の解説の赤い下線で引いたところについてなのですが、ここではxの範囲しか出てこないのですが、yの範囲はなくていいのかと不安になってしまいます。どのように考えれば良いのか教えてください。

1
を0でない複素数, x, y を w+=x+yi を満たす実数とする。
Xo.
W
(1) 実数R は R>1 を満たす定数とする。 wが絶対値Rの複素数全体を動くとき,xy
平面上の点(x, y) の軌跡を求めよ。
π
(2) 実数αは<< を満たす定数とする。w が偏角αの複素数全体を動くとき,
2
xy 平面上の点(x, y) の軌跡を求めよ。
ふた 〔17 京都大・理系]

191 〈複素数と2次曲線〉
(1) 複素数 w は絶対値がRであるから, w=R(cos0+isine) (0≦02) とおける。 条件
から cose, sind を x, y, R で表し, sin'+cos20=1 に代入すれば, 0が消去できる。
とおき,r. 1/2x, y, cosa, sina で表し、
(2) w=r(cosa+isina) (r>0, 0 < a < 2) **,
r1=1 に代入すればァが消去できる。
r
(1) w=R(cos+isine) (0≦02) とおくと
1=
=
1/20R(cosotising)/1/2 (cos-isind)
よって+112=R+1/12) cos+i(R-1)sino
1
w+.
W
wt
=x+yi であるから, 実部と虚部を比較して
=
x (R+1/2) coso, y=(R-12) sin
R>1 であるから
1
R
R+-
+ 0, R.
≠0
R
x
ゆえに
y
cos =
sin0=
1
1
R+
R-
R
R
cosotising
=coso-isin
◆複素数の相等。 実部と虚部
が,それぞれ等しい。
両辺を文字で割るときは、
0でないことを断る。
cos20+sin20=1であるから, 求める軌跡は
x²
楕円
1.2
+.
12
=1
2
R+
R
R
R
0が消去できる。
◆楕円であることを断る。

(2) w=r(cosa+isina)
(1) と同様にして
(r>0,
π
>0.0<< とおく。
x=(r+1) cosa, y=(-1) sinar
0<a<1であるから
cosa≠0, sing ≠ 0
よってr+1
x
1
=
r
=
r
cos a'
r
sina
ゆえに
r =
14
x
V
+
COS a
sina
1
x
=1であるから
+
r
2
COS a
r
y
=
sina
•
x2
したがって
12
1
また, r>0 であるから
(2sinα)2
(2cosα)
x
y
+0.
>0,
x
COS a sina
COS a
1/
x
2 cos a
sina
1
x
3 y
2\cos a
jina) =
=1
←rが消去できる。
y >0
sina
このとき,x2cosαであるから,求める軌跡は
双曲線
+2
(2cosα)
1,2
(2sinα) 2
=1のx≧2cos αの部分
◆双曲線ではあるが, 2本の
漸近線を境界線とすると連
立不等式の表す領域を満た
すのは,点(2cosα, 0) を
頂点とする方の曲線である。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ものぐさ

考えていますよ。赤い線でひいてある二つの不等式は双曲線の漸近線によってつくられる領域である事を前提にして、該当部が双曲線の片方だけである事を把握した上で、どちら側だけなのかをxの範囲内で指定しているだけです。
二つの不等式を変形してxの範囲を出してきたわけではありません。

りんご

理解しました！回答ありがとうございました！