Question

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3枚目の写真のGより下の部分の等号成立の部分が分かりません。どのように①、②、④を変形するとa=b、c=d、a+b/2、c+d/2となるのですか？いつもややこしい等号成立が解けないのでどなたか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

次の問いに答えよ。
2
□(1) 実数xyに対し(1+s)(1+y)/(1+) を示せ。また、等号が成立するの
どのようなときか。
□(2) a,b,c,d を -1以上の数とするとき
2
(1+a)(1+8)(1+c)(1+d)s (1+a+b+c+d)*
を示せ。また,等号が成立するのはどのようなときか。
('08 大阪市立大商,経済,医,生活

(1) 実数x, y に対し,
(右辺) (左辺)= (1+x+2)-(1+x)(1+y) A
=1+(x+y) + 1/(x+2xy+ y°)-(1+x+y+xy)
4
=1/(x²-2xy+y)
(x-
20
よって,
(1+x)(1+y)/(1+x+y)
2
23
また,等号が成り立つのは, (x-y)=0
すなわち, x=yのときである。
(証明終わり)
振り返り
□ (右辺)(左辺) ≧ 0 を示すことで不等式の証明ができたか
A
POINT 1
不等式 A≦B
基本はB-A
B 基礎事項
実数の性質
αが実数のとき,
a² ≥0
等号成立は α=00

(2)(1)より,
(1+a)(1+b)s (1+a+b
2
(1+c)(1+d)s (1+c+d)
2
C
© ①は(1)で示した不等式でxを.
a, b, c, dは-1以上の数より, ① ②の左辺は0以上であるから, D
① ② を辺々掛けて,
(1+α)(1+b)(1+c)(1+d)≦(1+
1) ≤ ( 1 + a + b )² ( 1 + c + d ) ²
a+b
2
2
さらに,(1)より
a+b c+d
2
a+b
1+
2
½) (1.
1+
c+d
2
+
2
2
≦1+
2
すなわち,
(1 + a + b ) ( 1 + c±d ) ≤ (1+ a + b + c + d ) ²
2
2
a, b, c, dは-1以上の数より
a+b
≧-1,
ctdz-1
≧-1
2
2
2
4
よって、④の左辺は0以上であるから,
(1+a+b)(1+c+d)s (1+a+b+c+d)*
⑤より,
2
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≦ (1tatbte+d)*
E
....... 3
a+b+c+d
また、等号が成り立つのは, 1, 2, 4 のすべてにおいて等号が成り
立つときより, G
a=b かつ c=d かつ
a+b
2
c+d
2
すなわち, a=b=c=dのときである。
yをとした式であり、②はxを
c.yをdとした式である。
D POINT 2
証明した不等式を利用す
るときは符号と等号成立
条件に注意する
ABかつCSDならば
ACS BD
が成立するのは、
OSASBかつSCSD
のときである。
したがって, ①②の左辺がと
もに0以上であることは必ず
認しなければならない。
E思考力
③の右辺をさらに大きくして目
的の不等式の右辺の形にしたい。
そこで, (1) で示した不等式のェ
をaib に,yを stdとした
落とし穴
④から⑤を導くときには、
ASBならばA'SB
を使っているが、これが成立す
るのは、
0≤A≤B
のときである。したがって、
1+a+620 と 1+6+d2
(証明終わり)
は必ず確認しなければならない
振り返り
CHECK □ (1)の不等式を符号と等号成立条件に注意しながら利用して,(2)の不等式の証明をすることができたか
G 思考力
(2)の証明の流れは、
12➡3
結論の不等式
となっている。したがって
論の不等式の等号が成立する
合は、スタートとなった不等
①,②, ④の不等式の等号が
べて成立するときである。
①の等号が成り立つのは、
a=bのとき、②の等号が成り
立つのは、c=dのとき、④の
等号が成り立つのは、

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ものぐさ

変形してるわけでなくて、(1)の性質をつかって不等式をつくると、等号が成り立つ時はx=yの時がいえるので
①の等号が成り立つときはa=b
②の等号が成り立つときはc=d
④の等号が成り立つときは(a+b)/2=(c+d)/2
求めたい不等式の等号成り立つ時は①②④全部で等号が成り立ってないといけないから
上のa=b,c=d,(a+b)/2=(c+d)/2の３つ全部成立してないといけない

☼

なぜ①の等号が成り立つときはa=bとなるのかが分かりません…他の②④が成り立つときもです💦

ものぐさ

それは(1)の証明で右辺-左辺がx=yの時に0になるってのがわかったから等号成立の時にはx=yが成り立つっていえるからですね

x,yは何入れてもいいわけなのでa,bやc,d入れても別にいいですし、(a+b)/2と(c+d)/2を入れても(1)の関係は使えます

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なるほど！(1)の内容を使っていたのですね！！理解できました✨️ありがとうございます！