Question

りんご

この問題で不等式を一般化して考えることのメリットは、数学的帰納法が使えるようになることですか？

戦略例題 12 一般化による数学的帰納法の利用目
a ≧ 1,6≧1, c
1,c,d のとき,次の不等式を証明せよ。然自分で
8(abcd + 1) ≧ (1 + α)(1+b)(1+c)(1+d)
思考プロセス
まず,戦略例題11のように, 文字を減らそうと考えるが,
4文字のときの8は, 2×4とみるか? 24-1 とみるか?
noin
文字を減らす
1文字の場合··· 1 (a+1) ≧ 1+α と考えられる。
L2×1ではなく, 21-1 = 2° = 1 とみる。
2文字の場合… 2 (ab+1) ≧ (1+α) (1+b) の証明を考えると
L22-12'=2
(左辺) (右辺)=ab-a-6+1
微分法と世界
文
(α-1)(6-1)≧00I=a+g
4文字の場合 (左辺)-(右辺)=(-1) (6-1) (c-1) (d-1) となりそう?
ところが,実際に ① を因数分解するのは大変。
しかも、 実際にはこのようには変形できない。
(α=1を①,② に代入すると,②=0 だが 1 ≠0となることからも分かる)
〔本解〕 一般化して考える。
文字の場合 2-1 (a1a2asan+1) ≧ (1+a) (1+a2) (1+αs) ... (1+α) を,
数学的帰納法を用いて示す。
Action » 具体数の場合で示しにくいときは,一般化することを考えよ
(別解) 式を分ける
(4文字) = (2文字) + (2文字)とみて
8{(ab)(cd)+1}≧{(1+α)(1+6)}{(1+c)(1+d)}
を示すことを考える。
7(土)している。
2文字の場合の2(ab+1) ≧ (1+α) (1+6)の利用を考える。
解 自然数nに対して, a, ≧1 (i = 1, 2, 3, ...,n) のとき
2-1 (arazasan+1)≧(1+α) (12) (1+αs)... (1+an)
が成り立つことを証明する。
[1] n=1のとき
(左辺)= α+1,(右辺)=1+α
(*)
(左辺)=(右辺)であり,(*)はn=1のとき成り立つ。
[2] n=k のとき,(*) が成り立つと仮定すると
2k-1 (a1a2a3ak+1)
≧ (1+aì)(1+α2) (1+αs)... (1+ak)
n=k+1 のとき
(左辺) (右辺)
= 2k (aayasakak+1 + 1)
不等式を一般化し,数学
的帰納法を利用する。

Answer 1

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ものぐさ

どっちかっていうと、一般化を想定して文字を減らしたり増やしたりするとどういう形になるのかとか
文字数や次数が少ない時nが少ない時の挙動と証明について考えて拡張法を考えるっていうアプローチの問題だとおもいます。

りんご

なるほど！理解しました！回答ありがとうございました！