130.nを自然数とする. 数列 2, 1,2,11のように各項が1または2の
有限数列 (項の個数が有限である数列)を考える. 各項が1または2の有
限数列のうちすべての項の和がnとなるものの個数をSとする.例えば,
n=1のときは,1項からなる数列1のみである.したがって, S=1 とな
る。 n=2のときは,1項からなる数列2と2項からなる数列1,1の2つ
である. したがって, S2=2となる.
(1) S3 を求めよ.
1
(2) n≧3 のとき, S を S-1 と S-2 を用いて表せ.
(2)n≧3 Sn
(3) 3以上のすべてのnに対して Sn-αS-1=β (Sn-1-αS-2) が成り立つ
ような実数 α, β の組 (α,β) を1組求めよ.
(4) Sn を求めよ.
ル海道大 類題:大分大)
§11 数列 249
この問題はどうやって解きましたっけ? そうです、 最初の一歩を1段上りに
するか2段上りにするか, 残りは何段かを考えたのでした。 (最後の一歩で場合
分けするのも可)
【解答】
(1) 各項が1または2で和が3となる数列は,
の3通りだから,
(1, 1, 1), (1, 2), (2, 1)
S3=3.
(2) 各項が1または2で和がn (≧3) となる数列は,
(i) 初項が1のとき, 残りの項の和が (n-1) であるから,その数列は全
部で S-1 通りある。
(ii) 初項が2のとき, 残りの項の和が (n-2) であるから,その数列は全
部で S-2通りある。も
以上, (i), (ii)ですべてでこれらは排反であるから,和がn(≧3)となる数
列は,全部で,
(3)S-αS-1=β(Sn-1-αS-2) を展開整理すると,
Sn=Sn-1+Sn-2 (n=3, 4, 5, ...).
明らかに、 Sn=(a+β)Sn-1-aßSn-2.
これと①を比較して, "a+B=1,g=0 となるαを捜す。
...①
子点
京都
の
α,βはの2次方程式
1+√5
x2-x-1=0の2解とみなせるから,
1±√5
(a, B)=
( 複号同順).
2
2
よって, 求めるα, β の一組は,
1-5 1+√5
SL(a, B)= 2
(4) (3) で求めた α, β を用いれば①は,
3)で求めたαを用いれば①は、
2
Sn-aSn-1=B(Sn-1-αS-2) (n=345, …)
と書けるから, 数列{Sn-αSn-1} は,
①SnがSntiに
初項 S2-αS1=2-α・1
なっているのに
3+√5
は
肌にならないの
2
ほなんでですか?
=B2,
※公比の等比数列.
Sn+1-aSn=B26B"-9
=βn+1 (n=1,2,3, …).
3+√5
どう気付けばいいのか。
②がと
