Question

まかろん

写真で赤くマークされているところについて、この部分がどのようにして求まったのかが分からないため途中式なども合わせて教えてください🙇🏻‍♀️

重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
| 多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x) =2xを満たし,f(0) = 1
であるという。このとき,f(x)を求めよ。
・基本 15
[一橋大
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば、f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
→f(x)は次式であるとして, f(x)=ax"+bx-1+ (a≠01) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ、右辺 2x と比較するこ
とで次数と係数 αを求める。
=
なお,f(x) =
(定数)の場合は別に考えておく。
宝文 左井泉TRAH
f(x)=c(cは定数) とすると, f(0)=1から
解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
f(x)=1 |
よって, f(x)=ax+bx"-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす...0=
0=1+y-x
あるとき
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"-1+・
anx +g(x)
I+x=4
- (ax^ + bxn−1 +......)
ただし,g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから、最
高次の項を比較して
......
・①,an=2...... ②
n-1=1
①から n=2
ゆえに、②から
a=1
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
(0)=1から c=1
326
SI-D
=2x+6+1
よって与式
2x+b+1=2x
この場合は, (*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。由について、
340+9
Tott
(x+1)* x
=x"+nC1x"-1+nCzx-2+...
のうち,
a (x+1)" -ax の最高次
の頃は anx-1 残り
Cの項は2次以下とな
++。
anxn-1と2の次数と
係数を比較。
つまり。
また f(x+1)-f(x)=(x+1)^+b(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
結果は同じ。
a=-10.
b+1=0
係数比較法。
この等式はxについての恒等式であるから
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1

Answer 1

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tamuten

FGですか。難しい問題ですね。
a(n+1)^nを二項定理で展開し、右のカッコからan^nを引いた結果です。