Question

りんご

この問題の(2)の平均値の定理を利用する方についてで、結果的に、不等式ができると言う事は理解できるのですが、いまいちイメージが思い浮かばず覚えづらいです。この動作は暗記ですか？

数列{a)について、aに1,ame=√2+amが成り立つ。
(1) O<an<2を証明せよ。
(2) 2-ann<12-an) を示し、liman=2であることを証明せよ。
(1) 数学的帰納法で示す。
n=1のとき
aに1より、Ocas2を満たす。
n=m(m=1.2)のとき
2
Ocam<2の成立を仮定する。
2<am+2<4
√2<√amt 2 <2
√2< Amel <2
amyの形
をつくる
①①に
y=xもってくるため
に必要
Y-√2+2
10
より、Ocamtic2が成立する。
1-12
α az
以上より、全ての自然数nにおいてOcans2#
2に収束することがグラフより予想可
(2) [解] 分子の有理化
[解2]平均値の定理(ボ3381)
2-antl=2-12+an
g(x)=√2+x とおく。g(x)=
これが
ポイント
①である。
4-(2+an)
2+2+an
2thon (2-an)
2+√2+0円
< 1/2(2-an)
よって、十分大きいれに対して
2-an<1/2(2-ant)
<(2)(2-0)
g(an)=anti }③より、平均値の定理を用いて
9(2) = 2
g(2)-g(am)
2-an
微分可能)
g'(c) を満たすCが
・より〇ではない
anと2の間(ancc<2)に存在する。
①②より 2- Anti = 21 (2-an)
1(ox)an<ccz
④より(1)>>であるから
となる。
③は
2- Anti < ±(2-an)
<(+)(2-0₁)
an=airmに相当
であり、(1)から
十分大きい、とかいたのは、n=1では不成立だから。(等号になる)
Oz-an<(1)(2a)」であるので、はさみうちの原理より、liman=2
〃
→〇(no)
コー1) 実は解ける
上の(例)において、an=2coson10sanc砦)とおくことにより、anを求めよ。

Answer 1

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ものぐさ

これもまずは傾きとみなせるということが第一歩です。
解答の四角にかこわれてる図をメモでかいて考えています。

その状態で不等式ながめてると　差の形が見えるので
これは傾きで考えられそうだなと思います。

(2,2)と(a_n,g(a_n))の傾きで考えられてそれが1/2未満になるのかと思いながら図をみると0<x<2の範囲でg(x)のどの点から(2,2)に直線をむすんでもそうなりますし、
なんなら-2<x<0の範囲でも余裕で傾き1/2未満になるなって気がつきます。

これを上手くつかって解答を書こうと考えはじめると
どの点をとってもとか解答で書くの面倒だな
不等式で評価するのだから大体でいいんだけどなって発想になり
ここまでくると平均値の定理で適当に置き換えようとなるのも比較的自然な発想です

ものぐさ

ちなみにどの点をとってもとか解答で書くの面倒だなとかかきましたけど　大して手間でもないので平均値の定理使わずにも処理できます。

-2<x<0の範囲だったとしても傾き1/2未満になることいえますしね。平均値の定理だとxが-1より小さい時に上手く評価できなくなりますしやや不自由です

りんご

なるほど！納得しました！分かりやすい説明ありがとうございました！