Question

team2MG

合っているか点検して欲しいです。書き方や考え方のアドバイスをお願いします。

B-14(1&2)
1-MG
2-AK

nを3以上の整数とする。
(1) x" + y'' = z" を満たす正の整数の組 (x, y, z) について、 x,y < z < x +yが成り
立つことを示せ。
(2)n=3のとき、 x3 + y = 23 を満たす連続する3つの正の整数 (x, y, z) は存在
しないことを示せ。

z" = x +y"
x, y, n は正の整数なので z" = x +y">x"⇒">x
同様に z > y
n
また、 (x + y)" = x" + y" +
(A) ·
'y +
...
+y” と二項展開すると、
n≧3 かつ x,y≥1より、 中間の頃はすべて正である。
よって (x+y')">x+y=z
これより z < x +yがいえる。
以上から、x,y < z < x + y は示された。 ...(証終)

連続する3つの正の整数を a-1,a, a + 1 (a > 2) とおく
(1)の結果より z < x + y なので、a +1 < (a-1)+a ⇒ a + 1 < 2a-1 → a > 2
よってa3 である。
(a - 1) + α = (a + 1)3
a3-3a²+3a-1 + a³ = a³ + 3a² + 3a+1
a3 - 6a²-2=0(a-6)=2
-
a は整数なのでは2の約数の平方数)である必要がある。
d=1⇒ a = 1 だが、これはa>3に矛盾する。
あるいは、f(a) = a(a-6) とおくと
• a = 3,4,5 のとき f(a) < 0
・a=6のとき f(a) = 0
・a=7 のとき f(a) = 49
となり、f(a) = 2 となる整数 αは存在しない。
ゆえに、条件を満たす連続する3つの正の整数は存在しない。
...(証終)