Question

ぽちゃこ

（5）なんですがOnからOn +1になる可能性はゼロなのにどうして-3分の1になるんですか?
➀と➁からそうなるのはわかるんですが、
推移図的に考えるとわかんなくて、、

46
12 数列
180. 〈確率と漸化式>
正四面体 OABC を考える。 動点Pは時刻 t = 0 のとき, 0にいるものとする。Pは1
秒ごとに隣り合った頂点に等しい確率で移動する。 例えば, 0から A, B, C の各頂点
に移動する確率は、それぞれ1/3であり、またAからO,B,Cの各頂点に移動する確率
もそれぞれ1/3である。Pがt=n 秒のときに頂点 0, A, B, Cにいる確率をそれぞ
れ On, An, Bn, Cn とする。
(1)O2=, A2=1,03=
である。
(2)図形の対称性よりすべての自然数nに対して An="=Cmである。
(3) すべての自然数nに対して,t=n 秒のとき, Pは0, A,B,Cのいずれかの頂点
にいるので[An+0=1が成り立つ。
(4) すべての自然数nに対して On+1=
ク
(5) すべての自然数nに対して 0+1=
On= ("-1+2
となる。
An が成り立つ。
0n+2が成り立ち
[上智大
応用問題

an-1-an = an an-1
11
bn
=
ゆえに
an
an-1
an
C
an-1 X
したがって, 数列 { // は初項
adi
であるから
1 = 1 = 1, 公差 1 の等差数列
1=1+(n-1)・1=n
an
1
ゆえに
an
n
これはn=1のときも成り立つ。
したがって
an=
n
An-17an>
コカートから
>>りから
An An->0
180 〈確率と漸化式〉
(2)図形の対称性から,以外の点への移動の仕方の総数はすべて同じ。
(3) 起こりうるすべての事象の確率の和は 1
(4) n+1秒後に0に動点Pがあるのは, n秒後に A, B, C にあり,それぞれの点から0
移動する場合である。
(5)(3)(4)を利用して, 数列 {0} の漸化式を導く。
(1) (ア) OA 0, 0→B→ 0, 0→C→0 の場合がある。
したがって
02=
◆それぞれの確率は
それが3通りある。
(イ) OBA, O→C→A の場合がある。
したがって
A₂ = 2 (171)² = 12/13
==
144 数学重要問題集 (文系)
◆t=1秒のときに
合t=2秒のとき
動できない。

it
こあ
数字
(ウ)
0→A→B→0,0→A→C→00→B→A→0,
→B→C→0,0→C→A→0,0→C→B→0 の場合
がある。
3
したがって
2
03=60
=
9
(2)t=n 秒のときに A, B, Cにいる確率は,図形の対称性により
しい
したがって
An=1B=1C
(3)t=n 秒のとき,Pは0, A, B, C のいずれかの頂点にいるから
よって, (2) から
カ3A+10=1 ...... ①
(4)t=n 秒のとき A, B, C のいずれかの頂点にいて, t=n+1 秒
のとき 0 に移動する場合であるから
=
1/An+1/2B+1/3Cm=3.1/4"="14" ②
=3•
◆樹形図をかいてもよい。
B- -0
C-O
OBA-O
C-O
A-0
B-O
<-An=Br=Cn
An=Bn=Cn
ケ
(5) ① ② から
30+1+0=1 すなわち 0+1= On+
1
数列{On}の漸化式。
3
変形すると O... 11/10--1)
=
On+1-
また
0-1=-1
4
On
よって、数列{0-2121 は初項 1.公比 - 1/3の等比数列であるから
n-1
ゆえに 0n=
==
n-1
+

Answer 1

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エムケー

回答になっていなかったら、すみません。
こんな感じで考えるとどうでしょうか。

t=nでPがOにいない場合、1/3の確率でt=n+1の時にPはOにいる。
※t=nの時にPがA,B,Cどこにいても、t=n+1の時にPは1/3の確率でOにいる。

t=nでPがOにいない確率は、1-Onなので、
On+1=(1-On)×1/3
=-1/3On+1/3

OnからOn +1になる可能性はゼロ
→Onはあくまで確率です。t=nの時に、PがOにいた場合はおっしゃる通り、t=n+1の時にPがOにいることはありえません。

ぽちゃこ

なるほど！分かりました！ありがとうございます！

Answer 2

和

O[n+1] = -(1/3)O[n] +(1/3)
は正しい関係式ですが、必ずしも
因果関係を表しているとは限らないからです
「t=n+1にOにいるには、t=nにOにいるしかない」
かのように読んでいるのが誤解の原因かと思います

その理屈で言えば、②O[n+1] = A[n]なんかも
「t=nでAから、次に1の確率でOに動く？」
という疑問になってしまいます

ぽちゃこ

分かりました！ありがとうございます！