Question

ぽんず

数学の問題です！
(2)の問題の直線OBの傾きが－になることはありますか？また、理由を教えて欲しいです🙇‍♀️お願いします。

Y3 微分法・積分法 (50点)
を定数とする。 関数f(x)=-3x²+kx があり, 0を原点とする座標平面上において、
Cy=f(x) 点 (1,f(1)) におけるCの接線の傾きは4である。 また、Cの
> の部分に2点A(a, f(a)),B(b,f(b)) (ただし, 0<a<bをとる。
(1)の値を求めよ。 また、 直線OBの方程式をかを用いて表せ。
(2) CのSxSの部分と直線およびx軸で囲まれた部分をDとし、その面積を
S とする。 Si をを用いて表せ。また、Cと直線OBで囲まれた部分をDとし、その面
積をSとする。 S を♭を用いて表せ。
(3) (2)において、直線OBがD」の面積を2等分するとき、をを用いて表せ。このとき
さらに直線
の面積を2等分するようなaとbの値をそれぞれ求めよ。
がD
配点 (1) 14点 (2) 18点 (3) 18点
解答
(1)
f(x)=-x+kx より
f(x) =-6x+k
C上の点 (1.j(1)) におけるCの接線の傾きが4であるから
f' (1) 4
-6+k=4
よって10
また、f(x)=-x+10x であるから B(b, -30+106)
ここで、点BはCy0 の部分にあるから
-36+106>0
b(36-10) <0
よって <<
10
このとき、直線OB の傾きは
(x)=2x, (x)=1
曲線 y=f(x) 上の点(a,f(a)) に
おける接線の傾きはf (a) である。

88
362+106
=-36+10
b
であるから、 直線 OBの方程式は
直線OB は, 原点Oを通り、傾き
y=(-3b+10)x
36+10の直線である。
圈 k=10,y= (-36+10)x
(2)
解法の糸口
Di, Ds をそれぞれ図示するなどして曲線と直線の位置関係を把握し, Si, S2 をそれぞれ定積分で表し, 計算す
る。
10
<a<より,0≦x≦a のとき,
f(x) ≧0であり, D」は右の図の斜線部分で
ある。
したがって, 求める面積S」は
S₁ = f(x)dx
-Si-
-3x2+10x)dx
= -a³+5a²
また, 0xb のとき,
f(x) (-36+10)x であり, D2 は右の図の
斜線部分である。
したがって、求める面積 S2は
S₁ = fiscx)-(-
S2=
-(-36+10) x)dx
=
-St-
(-3x²+3bx) dx
10
la ≦x≦b で f(x) g(x) のとき,
3
a
C
2曲線 y=f(x), y=g(x) および 2
直線 x=a, x=6で囲まれた図形
の面積をSとすると
s=f(f(x)-g(x)dx
√x²dx = x²+C
fxdx=1/2x+c
ただし, Cは積分定数
Si=q+5°,S2=
10
3
x
f(x-1)(x-B)dx=-1/2 (B-α)
C
を用いて,次のように計算してもよ
い。
S₁ = f(x)-(-36+10) x)dx
=-3x²
(3x²+3hx)dx
=-3f*x(x-b) dx
1
=-3(-1) (6-0)³ ³

Answer 1

和

Bはx軸より上にとると
問題の設定上決まっているので、
マイナスになることはありません