以下の写真に解答を載せておきます。答えが分からないので、合っているかは分かりませんが。
かなり簡略化して記述したので、いくつか補足をしときます。
(1)について
a+b の最大値を求める問題はa+b,abをそれぞれ新しい変数に置き換えて考えるのが定石です。
特に対称式と呼ばれる式は基本対称式a+b,abで完全に置き換えられることが知られているので、この解法が有効です。
sの範囲の絞り込みでは、解と係数の関係を利用して不等式を作っています。こちらも完全対称式が登場する問題ではたまに使われる方法です。
相加・相乗平均でも同様の式が作れるので、そちらの方がわかりやすいかもしれません。（a,bが正の場合しか使えませんが)
(2)について
sの範囲がわかっているので、与えられた式をsのみの関数になるように変形しています。
あとは微分して傾きを考えれば、最大値を取る点が分かります。
何か分かりにくいところがあったら補足します。頑張ってください。
（2)にコーシー・シュワルツの不等式を使うのは流石ですね。思いつきませんでした。
恐らく3/2乗と1/2乗を利用したと思いますが、一言あると親切かなというくらいです。
こんな回答はどうでしょうか？