Question

🍊あまのがわ🕊

この問題の判別式の使い方(？)が分かりません
この2問の解説お願いします🙇‍♀️

基本 例題
115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式)
(1) すべての実数x に対して,2次不等式x+(k+3)x-k>0が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2)任意の実数xに対して,不等式 ax-2√3x+α+2≦0が成り立つような定
p.187 基本事項 G
数αの値の範囲を求めよ。

不等式 高一 数1 二次関数

Answer 1

GDO

(1)解法①
左辺の関数f(x)=x²+(k+3)x-k は、下に凸の2次関数なので、
f(x)=0の実数解を持たなければf(x)>0が成り立つ（下に凸のグラフを想像する）
2次関数が実数解を持たない＝判別式<0
判別式=(k+3)²+4k=(k+9)(k+1)<0
よって、-9<k<-1
（k=-9、k=-1、x=-3、x=0　のときのグラフを考えると点検になると思いますよ
　x=-3、x=0は -9<k<-1の範囲と範囲外で、f(x)がシンプルになる値)

解法②（平方完成を作る…解法①と基本的な考えは同じです）
f(x)=x²+(k+3)x-k
　=(x+(k+3)/2)²-(k+3)²/4-k
　=(x+(k+3)/2)²-(k+9)(k+1)/4
　≧-(k+9)(k+1)/4…x=-(k+3)/2のとき頂点で最小値
この関数が常に(任意のxで) f(x)>0になるには、
-(k+9)(k+1)/4>0である必要がある。
よって、-9<k<-1

(2)これも同様になりますが、関数f(x)=ax²-2√3x+a+2は
上に凸か下に凸かわからないので場合分けします。
また、問題文にも「２次関数」と書いてない(a=0の場合も考える)ことに注意が必要
(i)a=0、(ii)a>0、(iii)a<0で場合分けします。
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(i)a=0のとき、
　f(x)=-2√3x+2
　常に(任意のxで) f(x)≦0とならないので、a=0は不適
(ii)a>0のとき、
　f(x)は下に凸の関数になるので、常に(任意のxで) f(x)≦0にならないので不適
　例えば、xを大きくしていく(x→+∞)と、f(x)は+∞ (f(x)>0)になる
(iii)a<0のとき、
　上に凸の関数であるから、(1)と同様に解きます（グラフを想像するとよいです）。
　f(x)≦0なので、f(x)=0でもOK、f(x)>0はNG
　判別式≦0とすればよい（判別式=0はOK、判別式>0はNG）
　判別式/4=(-√3)²-a(a+2)=-a²-2a+3=-(a+3)(a-1)≦0
　a≦-3、a≧1となりますが、a<0の場合を考えているので、
答えは a≦-3

点検してミスを修正しましたが、こんな感じになります。
（すみません。よく計算ミスあります）