Question

いちごヨーグル

(2)の計算で青線部分を赤線じゃなくて黄色線に代入しなければいけないのか教えてください！🙇🏻‍♀️

156 α=-1,2an+1=an²+3nan-6(n=1, 2, 3, で定義される数列
{a} を考える。
(1) 2, 3, 4 を求めよ。
(2)一般項 αn を推測し, それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せ
よ。
[18 広島市大]

(1)より,{a} は初項 -1, 公差 -3 の等差数列で,一般項 am
an=-1-3(n-1)=-3n+2
と推測される。
X-306
an=-3n+2 ①とする。
[1] n=1のとき ①でn=1 とおくと a1= -3・1+2= -1
これは,与えられた条件 = -1と一致する。
よって, n=1のとき①は成り立つ。
[2]n=kのとき,①が成り立つと仮定する。
すなわち=-3k+2 と仮定する。
n=k+1のとき
1
ak+1= ak2+3kak-6)
1
って
2
ゆえに
-{(-3k+2)2+3k-3k+2)-6}
=-3k-1
=-3(k+1)+2
よって, n=k+1のときも①は成り立つ。
01
は

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

「直に赤線に代入した等式そのものを使う」のはダメです
つまり「n=k+1のときaₖ₊₁ = -3(k+1)+2」と書いたらダメです

なぜなら、いまやっていることは、
赤線がn=k+1のとき成り立つのか否か？
ということだからです

単に「aₖ₊₁ = -3(k+1)+2」とだけ書いたら、
この等式が成り立っている、という意味です
この等式が成り立つかどうか不明なので、
成り立つなら成り立つ根拠を言わねばならないのに、
突然「この等式が成り立つ」と書いているので、ダメです

aₖ₊₁を別ルートで（つまりaₖ=-3k+2から）
計算してみた結果、-3(k+1)+2になった、
ということを示してやることにより、
aₖ₊₁ = -3(k+1)+2
すなわち赤線が成り立つことがいえるのです

いちごヨーグル

丁寧な説明ありがとうございます！助かりました！
もう1つ質問があって、なぜ黄色線の式を使うのかが分かりません！良かったら教えて欲しいです🥲

和

わかっている（成立を仮定した）aₖから
わからないaₖ₊₁を出すために、
aₖとaₖ₊₁の両方が入っている、
問題文の漸化式を使っています
その結果が黄色線です

いちごヨーグル

ほんとにありがとうございます！とても助かりました！！