Question

スヌーピー

数1の質問です。解説の矢印の逆は成り立ちますか？また、グラフが下に凸の時も成り立ちますか？回答お願いします。

共有品
(1)(2)次の(i)~(ii)を満たすとき, 2次関数y=f(x) のグラフは,
0<x<2でx軸と2つの共有点をもつ (接する場合を含む)
(i) 2次方程式 f(x)=0の判別式をDとするとき D≧0
(ii) 0<<2+)
(ii) f(0) <0 かつ f(2) <0

15. 2次関数のグラフとx軸, 直線〉
(1) xy 平面上に, xの2次関数 y=-x2+ax+2a-3 のグラフがある。 このグラフが
0≦x≦2においてx軸と少なくとも1つの共有点をもつとき, αの値の範囲は
である。
[18 慶応大 1

Answer 1

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和

矢印というのは、f(0)f(2)>0の直後の太い矢印でしょうか？
この矢印は、論理記号の⇒の意味で
使っているのではなさそうです

この矢印の右の段落だけで話は完結しており、
「f(0)f(2)>0」の意味が（その図だけでは）わかりません

したがって、逆という概念もありません
どういう意図、どういう文脈で書かれているものかも、
そこからはわかりません

下に凸の場合、(i)〜(iii)の条件では
「0〜2でx軸と共有点をもつ」は満たされません

スヌーピー

回答ありがとうございます。一般にf(α)f(β)>0がグラフ上で意味するのは二次関数y＝f(x)(上に凸の場合のみ)のグラフが0<x<2の範囲で少なくとも１つの実数解を持ち、またその逆は成り立たないという認識で間違いないでしょうか。(一応解説を貼っておきます)

スヌーピー

0<x<2ではなくα<x<βの範囲でです。

和

終始、質問の意図がわからないので答えにくいです
その問自体を理解しようとしているのか、
その問から離れた話をしたいのか…

2次関数y=f(x)のグラフは上に凸の放物線であること、
またα<βのもとでの話であることを仮定して答えます

f(α)f(β)>0ならば
放物線y=f(x)がα<x<βで少なくとも１つの実数解をもつ
とはいえません

逆も成り立ちません

スヌーピー

でしたら解説ののf(0)f(2)>0というのはなんの意味を持つのでしょうか

和

場合分けしているのでしょう
f(0)f(2)は、≦0の場合か>0の場合のいずれかです

f(0)f(2)≦0の場合、必ず与えられた条件を満たします

f(0)f(2)>0の場合、与えられた条件を満たすには、
まだ他の条件が足りません
それは判別式≧0と0<軸<2とf(0)<0とf(2)<0です

わかりますか？　今した話は、あなたの言う
　「f(0)f(2)>0が意味するのは
　『0<x<2で少なくとも1つ実数解をもつ』」
とは違います

あくまで
　「f(0)f(2)>0の場合においては、
　『0<x<2で少なくとも1つ実数解をもつ』⇔(i)(ii)(iii)」
ということです

スヌーピー

なるほどです、理解しました。すごくわかりやすかったです。また質問させて欲しいです、ありがとうございました。