Question

りの

13と14の問題を教えて頂きたいです

13 二項定理を用いて, 次のことを証明せよ。
x>0 のとき (1+x)">1+nx+
n(n-1),
2
■■ B Clear
x2
(nは3以上の自然数)
14 次の□に入る数を,二項定理を用いて求めよ。
101 Co+101 C2+101C4 +... + 101 C98+ 101C100 =20
13,14

すなわち
■■■指針■■■
(1+x) 101 の展開式を考え, 二項係数の等式
編
-3
(3)展開式の一般項は
JAA
C(x³)6(1)=C,. *18
18-3r
x'
x18-31
(1+x)">1+nt
よって、 ① から (1+x)" >"Co+,Cix+,C2x2
m(n-1)x2
2
=x2 とすると
x18-3r=x2.x
x'
14
よって
x18-3rx2+r
両辺のxの指数を比較して18-3r=2+r
ゆえに r=4 8+p+ 0.1
したがって, 求める係数は 6C4=6C2=15
(4) 展開式の一般項は
212
=5
sC/2x78(-3,x)=sC,2"-"(x)-(-1/2)^(1/22)
-C,25)
刃 C, = C-7 を利用する。
二項定理によりコ(
(1 + x)101 = 101 Co + 1011x+1012x2+101 C3x3
+ ...... + 101
C100 x 100 + 101C101 x 101
1x15-37
① に x=1 を代入すると
2101=101Co+101C1 + 101 C2 + 101 C3
+ … + 101 C100+101 C101
① に x=-1 を代入すると
0=101Co-101C1 + 101 C2101 C3
15-3r
これが定数項のとき
=1
x2
よって
15-3rx2reg
+ses1-=
両辺のxの指数を比較して
ゆえに r=3
15-3r=2r
(1) SI
②+③から
したがって, 求める定数項は
DCX24(-1/2)=10×4×(-1/2)=40
12 二項定理により
(a+b)" = "Coa"+"Can-16+nCzan-262
+…+101C100-101C101
②
2 (101 Co + 101 C2 + 101 C4 + + 101
C98 +101 C100 )
exarxx
よって
OSTOR
=2101
101 Co + 101 C2 + 101 C++ 101C98 +101C100=2100
したがって 100
(S-)x-
LEISI
15 (1) { (a+b)+ c} の展開式において,c を含む
項は
2-9C3(a+b)63
208.46
910
(a+b) の展開式において,の項は Cab
よって, 求める係数は
9C3X6C1=84×6=504
別解 (a+b+c) の展開式における adbc3 の項
HA9!
(S)
+......+wCb"
この等式に a=1,b=-1 を代入すると, nが正
の奇数であることから
(1-1)"="Co-„C1+" C2-C3+<
+nCn-1-nCn
すなわち
は
a5bc3
よって
0= "Co-"Ci+"C2-C3++"Cμ-1 C
nCo+nC2+......+C-1
5!1!3!
よって、 求める係数は
69!
9-8-7-6
= "C1+ "C3+... +nCn
4x+d
=504
4x+4
10
105
参考 展開式
数学Ⅱ
問題
334
ar
(1+x)"="Co+mCix+nC2x2++nCmx"
に x=-1 を代入すると考えてもよい。
13 n≧3 とする。
二項定理により
(1+x)"=„ Co+,Cix+月C2x2+月C3x3++ "Crx"
S-S
5!1!3! 1x3-2-1
(2){(x+y-2z} の展開式において, 22を含む項
は 8C2(x+y)(-2z)2=8C2(-2) 2(x+yz2
(x+y) の展開式において,xyの項は C3xy3
よって, 求める係数は
8C2・(-2)2×6C3=28×4×20=2240
別解 (x+y-2z) の展開式におけるxyz2の項
8!
は
3!3!2!xy³(-22)²
よって、 求める係数は
x>0のとき,C,>0(r=0, 1, 2,...,n) よ
り
„С 3 x ³ + ...... + „С „x">0
8!
…(-2)²=
3!3!2!
8-7-6-5-4
3.2.1x2.1
-.4
=2240