Question

も

数2不等式の証明
256の2です、指針のやりかたのように代入するだけではダメですか？きちんと右のように丁寧に書くべきですか？

256
次の各場合について, 式の大小関係を調べよ。
(1) a<b, x<y \ ax+by, bx+ay
12
a+b
2ab
a²+b²
*(2) a>0,60 のとき
√ab.
2
a+b'
2

すなわ
解答編
255
(1)a>0,
36
a
0であるから
(2) a>0, b>0 $5
36
a+b
a+
2
36
>0,
a.
=12
......①
2
√ab >0
a
2ab
等号が成り立つのは,a=
のときである。
36
a2+62
すなわち a2=36
>0,
>0
a+b
2
a
> 0 から, a2=36のとき
よって
a=6
相加平均と相乗平均の大小関係から
a+b
Jab≤
...... ②
a=6で最小値 12
2
注意①が得られたからといって, すぐに 「最小
値が12」 としてはいけない。
a +6\2
2
である。
2
なわら
87
数学Ⅱ 問題・演習問題
最小値を与えるαの値が存在することをきちん
と確認する必要がある。
a2+62
a2+2ab+62
4
(2)
12x
+
=16+
12y
+
+9
x
y
a2-2ab+62
x
4
(a-b)2
4
20
=122+4 +25
x0,y>0より,¥>0, 1>0であ
よって
>0であるから
(a + b)² =≤ ( √ √ a ² + b² ) ²
2
ゆえに, ①から
+2
22 2.x
yx
=2
xy
よって
(4x+3y) (4+2)21
3
≥12-2+25=49
y
等号が成り立つのは,1/2=4 すなわち x2=y2
a+b
a2+62
2
2
(√ab)² - (a+b)
2ab 12
y
のときであるが,x>0,y>0から x=yのとき
である。
したがって x=yのとき最小値49
ab(a+b)2-4a262
(a+b)2
ab(a²-2ab+62)
(a+b)2
ab(a-b)2
(a+b)2
2ab
よって
256
指針
(√ab)2
a+b
(2) まず, a,bに適当な値を代入して, 4式の
大小の見当をつける。
ゆえに、 ①から
2ab
例えば, a=1,b=2のとき
a+b 3
2
=1.5,
√ab=√2=1.41 ......,
2ab
4
a+b
= 1.33 ......,
3
a+b2
2
√10
=
=1.58 ......
2
2ab
よって,
a+baba+b
a2+62
2
2
と予想できる。
(1) ax+by-(bx+ay)=(a-b)x-(a-b)y
=(a-b)(x-y)
a<b, x<yから
a-b<0, x-y<0
よって
(a - b)(x-y)>0
すなわち
ax+by-(bx+ay) > 0
ゆえに
ax+by>bx+ay
a+b=√ab
② ③ ④ から
2ab
・≦√ab
a+b
a+b
2
a2+62
2
257
(等号は a=bのとき成り立つ )
[指針]
(1)と同様にしてcd>c+d が示される
これと (1)の不等式の辺々を加えると
ab+cd>a+b+c+d
よって, abcd> ab+cd を示せば,
abcd>a+b+c+dが導かれる。
→
abcd>ab+cd として,(1)の不等
利用を考える。
(1) ab-(a+b)=(a-1)(6-1)-1
a>26>2から
a-1>1, b-1>1
(a-1)(b-1)-1>1-1-1=0
ab-(a+b)>0
よって
すなわち
ゆえに
ab> a+b
..①

Answer 1

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和

右のように書くべきというか
右のように書くことは必須です
書かないとほとんど加点されません

書いてある通り、指針でやっていることは
大小の見当をつけることに過ぎないからです
つまりa=1,b=2のときに限っては大小が判明しましたが、
他のケースについてはまったく調べていないから
ダメということです
あらゆるa,bの値に対して大小を調べる問題です

も

そうでしたか、、わかりましたありがとうございました♪