Question

ONCE

写真の２枚目の赤いマーカーの部分のように記述する意味がわかりません。写真の1枚目は問題です。

237(1)定積分 Sofpdt
dt を求めよ。
1+12
(2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。
[09 埼玉大 ]

1-1であるから
したがって
a=1+(1-1)cos0
=(1-1)(2+sin0)
'+83=1+(1-1)cos02+(1-1)(2+sin0)?
=12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0
+(1-1)(4+4sin0 + sin 20 )
=1²+5(1-1)²+2t(1-1)cos
+4(1-1)²sin 0
24sin-cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
=22sin-cos0 +3) 2
20として, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は、半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
V==√" RS²dt ==√(a² + ß³)dt
xf {22sin-coso+3)2
18
中
24sin0 -cos0 +5)t +4sin0 +5jdt
(2sincos0 +3) ー(4sincoso+5)+(4sin0 +5)
in
=(4sin 6
4sin02cos0 +6-12sin0 + 3cos0-1512sin+15)
24sin+cos0 +6)
(3)(2)から
ただし
V=
'=g(√17 sin(0 + A) + 6}
sinA=-
1
=* cos A=-
=
え方
4
√178cmSp
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
-1sin(0+A)≤1
の範囲は
よって
1+12
ゆえに
12
Jo 1+1
+
do
1+tan' cos¹
-S [ローテ
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
x 2 + y'Slog2-log (1+z^) ...... ①
①を満たす実数x, yが存在するための条件は
log2log(1+24) 20
すなわち log(1+27) ≦ log2
底は1より大きいから 1+22≧2
よって, zのとりうる値の範囲は -
立体 A を平面 z=f(-1SIS1)で切ったときの切り
口を表す関係式は
x+ylog2log(1+t), z=t
ゆえに、切り口の面積を S(1) とすると
S(t) == (log2-log (1+1))
立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
v=25' sundt
V=
== 210g2-log (1+1))dt
=2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。
21
+212
12
=2mlog2-2mlog2+4xford Es
よって、体積Vの最大値は6+yⅡ -, 最小値は
=4T
-dt
6-√17
ーである。
3
したがって,(1)からV=4(1-4)=2 (4)
237 体積
238 体積
不等式の定める立体(領域)の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと
きの切り口の断面積をtの関数を表す。
関数
出題テーマと考え方
1003
出題テーマと考え方
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
(2) 曲面Sの平面 x=uでの切り口の面積をもの
関数で表す。
12
(1)
-dt=
= So (1 - 1 + 1 = ) dt = S'de - So 1 + 1
Sar=[]=1
(1) 平面 x=uで考えると,
右の図のようになる。
点0'(2,0,0)から線分
PQ までの距離を1とし,
21
(x=N)
1
Q
t=tano (002) とおくと
t 0→1
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
N
P
1
dt=
-do
COS20
0
←0
44
0
# 1
y
よって l="√1-u2+トーリー

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

らい

このような体積を考える時は、立体を頭で想像するのではなく、x,y,zいずれかの平面で切った時の、面積を積み重ねます。今回はx^+y^2の部分が円の方程式に似ているので、円が存在するようなzの範囲を求めて、その範囲で積分します