Question

わ。

数Ⅲ 基礎門40(3) 解説を読んでも理解出来ませんでした💦詳しく教えてください🙇‍♀️

68
第3章
40 逆関数
(2)とするとき。
次の問いに答えよ。
(y=f(x)の逆関数y=f(x) を求めよ.バー)
② 曲線 C:y=f(x) と曲線 Ca:y=f'(x) が異なる2点で交わる
ようなαの値の範囲を求めよ.
(3) C. の交点の座標の差が2であるとき, aの値を求めよ。
〈逆関数の求め方〉
(012)
(
y=f(x)の逆関数を求めるには,この式を
x=(yの式)と変形し, xとy を入れかえればよい
〈逆関数のもつ性質〉
I. もとの関数と逆関数で,定義域と値域が入れかわる
eto
Ⅱ. もとの関数と逆関数のグラフは, 直線 y=x に関して対称になる
逆関数に関する知識としてはこの3つで十分ですが,実際に問題を解くとき
〈逆関数のもつ性質〉を上手に活用することが必要です。 この基礎問では,IIが
ポイントになります。
解答
(1)y=√ax-2-1 とおくと, √ax-2=y+1
よって, y+1≧0 より,値域は y≧-1
ここで,両辺を2乗して,
1大切!!
ax-2=(y+1)2
.
a
x=1/2(y+1)+1/2 (y-1)
2
a
*>, ƒ³¹(x) = 1½ (x+1)²±²² (x≥−1)
a
a
【定義域と値域は入れ
かわる
注 「定義域を求めよ」とはかいていないので,「x≧-1」は不要と思う
人もいるかもしれませんが、xの値に対してyを決める規則が関数で
すから、xの範囲,すなわち, 定義域が「すべての実数」でない限り
は,そこまで含めて「関数を求める」と考えなければなりません.
ey=f(x)とy=f(x)のグラフは、凹凸が異なり,かつ,直線

第3章
69
y=xに関して対称だから,「y=f(x) = (x)が異なる2点
で交わる」ことと、
y=f(x)
=xが異なる2点で交わる」ことは同値。
よって、2次方程式 1/2(x+1)2+2/2- =I
すなわち, (a-2)x+3=0が≧-1の
範囲で異なる2つの実数解をもつαの範囲を
求める.
そこで,g(x)=x(a-2)x+3 とおくと,
この2次関数のグラフは右図のようになる.
(I・A46:解の配置)
a>0,g(−1)0,軸 > -1, 判別式>0
a>0, a+2≥0, a²>−1, (a−2)²-12>0
2
2
y=g(x)
.a>2+2/3
(3)(2)の2つの解をα, β(α <B) とおき, 判別式をDとすると
β-α=2√D=2 (ⅡB ベク108)
(α-2)2-12=4a=-2, 6
a>2+2√3 より,a=6
(別解)(β-α)2=41 (α+β)2-4aß=4
ここで,a+β=a-2, αβ=3 だから, (a-2)2-12=4
a>2+2√3 より a=6
ポイント
演習問題 40
y=f(x) と y=f(x) のグラフの凹凸が異なると
き,その交点はy=f(x) と y=x
(または, y=f(x) と y=x) の交点と考える
b
mil
関数f(x)=ax+bx+c (a≠0,
·
x>- 2017) 逆関数f(x)
で表す. 次のものを求めよ.
mil
(1)-(0)=1/23f-(2)=2,-'(10)=3 のとき a, b, c の値.
(2) a, b は(1)で求めた値とし, cの値だけ変化させるとき, y=f(x)
とy=f'(x)のグラフが1点で接するようなcの値.