Question

りり

演習11(2)は何をヒントに解答の取っ掛かりが思いつくのでしょうか。
最初の①式にn=n+1を代入した②式を作り、①②の二式を作ることで上手くいくという発想は、
他にどんな問題で使えるのでしょうか。

bn
4
::bn+1/2=57-1(01+1/12)=57-1 (1/2+1)=21425"-1
4
b=-5-1-1-3-5-1-1
(2) a1=2, nan+1= (n+1)an+1
④をn(n+1) で割ると,
右
あたまんな
↓
Anti-part for
n
よって, n≧2のとき,
n-1
← { bn+1}は公比5の等比数列
0-
<b₁=
1_1
a₁ 2
4
4
ani
4
3.5"-1-1
④
階差型になる.
(+)=(10) +1+
1
1=0m+1より
n+1
n
an+1
=
an +
n+1
n
n(n+1)=
1
..bn+1-bn=
n(n+1)
bm=- an とおくと, bn+1=bn+.
1
(n+1)+1が定数数列としてもよ
•=2+
b=b₁+2 (b+-ba)=2+(k+1)²+(+1)
k=1
1
1
=2+
1 (n-1)+1
1
=3- (n=1のときもこれでよい )
n
(
4--2-2
1
..an=nbn=3n-1
11 演習題 (解答はp.76)
次で定義される数列{4} の一般項を求めよ.
(1) 例題 (1)に似てい
(2) 2との関係
an-1
る.
(1) a1=8, n=-
(n=2, 3,...)
(津田塾大 国際関係)
(n-1) an-1+1
( 信州大・理)
は?
(2) a₁ =3, anan+1=5.22n-1 (n=1, 2, 3, ...)
66

10
(3) 逆数をとるタイプ (O11 を参照).
a1=1, m=
2.Sm²
2S+1
(n=2, 3, 4, ...) ......... 1
(1) ① でぃ=2として, a2=
2(+α)2
2(a+a2)+1
a2=xとおき, a1=1 を代入して分母を払うと,
(2x+3)=2(x+1)2
-x=2
●nが奇数 2k-1のとき, 42(+1)=4a2k-1 より,
{2m-1}は公比4の等比数列である. 第1項はm=1
とした21-1=4 であり, 第々項はm=kとした
2-1 であるから,
2k-14-1a1=3-4-13-22-2
●nが偶数2kのとき, (+1)=4より,
a2k=4k-1az=22k-2az
よって, x=α=-2
10
5
(2) a=S-S-1 だから, S-S-1=
(S-S-1) (2S+1)=2S2
2Sm²
2Sm+1
①より4142=10でa2=3
..
a2=
·22k-1
3
3.2"-1 (nが奇数のとき)
以上より, m=
. Sn-2S-1S-S-1=0
5
3
・2"-1 (nが偶数のとき)
よって, (1-2S-1)Sn=Sn-1, Sm=
SR-1
1-2S-1
(3) (2) の漸化式の各辺の逆数をとって,
つの式で表すと, an=
注 ①より,明らかに 4 0 である. ちなみに,
2(-1)"-1+7
-2"-1
1
1-2S-1
1
1
-2
Sn
Sn-1
Sn Sn-1
{}
1
1
は初項
=1, 公差 -2の等差数列だか
S1 a1
12
bx+1=
1
1
ら.
=1-2(n-1)=3-2n で, Sm=
Sn
3-2n
いて変形して,
an+1+B
an+1+a
an+B
an+a
4an +1
この右辺を +1
を用
20m+3
(=b) の定数倍になるようにす
11 (1) 逆数をとるタイプ.
る. an, n+1 を by, bn+1 で表してから, an+1=
40m+1
2an+1
(2) +1=
なので, an+2=
=an
an
an+1
◯/an
となるので、 1つとびを考えるとよい.
解 (1) n+1=
に代入するのは下手.
40m+1
2an +3
リュー
(1) a₁=8, an=
an-1
(n-1)an-1+1
bn=
an+β
anta
のとき, b+1=
an+1+B
に①を代入して
an+ta
帰納的に>0である. 上式の各辺の逆数をとると,
4a+1
1 (n-1) an-1+1
+B
1
2a,+3
4an+1+B(2a+3)
+n-1
bn+1=
an
an-1
an-1
4an+1
4a+1+α(2a+3)
+α
b=1/4 とおくと,
2an+3
b=b-n-1
よって、2のとき,
カー1
=61+
An
8
2
.bn+1=bn+n(n≧1)
bn=b₁+" (b+1-bx)=b₁+Σk
1
-b₁+141x(x-1) (-1)
1+4(n²-n) (2n-1)2
38+1
(2β+4) an+3β+1_2β+4
ant
2β+4
(2a+4) an+3a+1
…………②
2a+4
(n-1)n
3a+1
an+-
2a+4
これが,
これはn=1
an+B
an+α
12
でも成り立つ
n(n-1)
(=bm) ...... ③ の定数倍になればよい.
②の右側の分数と③が一致するようにα, βを定める。
==
8
+
3a+1
8
2
=α,
2a+4
3β+1
2β+4
-=B
h= n
8
.. an= (2n-1)²
(2) a1=3,4n+1=5・22"-1
①よりan+14n+2=5.22"+1 ② ② ①より,
an+2 =22 .. Q+2=4a
8
であればよい. よって, α, β は
3x+1
=xの解で分
2x+4
①
母を払うと, 3+1=x(2x+4)
∴.
2x²+x-1=0
(x+1) (2x-1)=0
α>Bより,α=
β=-1
an
①
2'
0

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和

>演習11(2)は何をヒントに解答の取っ掛かりが思いつくのでしょうか。

nを1つずらした式を使うのは一つの定石ではありますが、
この問題で気づけるかは難しいのかもしれません
だからヒントがついているのでしょう

>最初の①式にn=n+1を代入した②式を作り、①②の二式を作ることで上手くいくという発想は、他にどんな問題で使えるのでしょうか。

たとえば漸化式の序盤からちょくちょく出てきています
漸化式を解くために、特性方程式を使う以外に使われる、
一つの解法です