Question

まつたけさん

2002年京都大学文系数学の空間ベクトルの問題なのですが、この解法でも合っているでしょうか。
Googleで調べてもこの解法が載ってなかったので不安になって質問した次第です。
よろしくお願いします。

★★
(011)
9 四角形ABCD を底面とする四角錐 OABCD は
OA + OC = OB+OD
を満たしており,0と異なる4つの実数a, r,s に対して4点P,Q,
R, Sを
OP=OA, OQ=qOB, OR=rOC, OS=SOD
によって定める。 このときP,Q,R, S が同一平面上にあれば
11+1/2=1/+1/
r
S
が成立することを示せ。
(京都大)

p=-q
∴p=q=r=s
= q-r
Er
行四辺形 PQRS の対角線の交
Dは対角線 PR の中点な
OR
pa+(1-r)b+rc
2
(1 - p)+ pc (p=r)
2
OP=pa, OQ=qb,
OR=rc, OS=s(a−b+c)
今、QPQR は1次独立であるから,P,Q,
R, Sが同一平面上にあるとき, ある実数 α,
βを用いて
QS = αQP + BQR
OS-OQ
=α(OP-OQ)+B(OR-OQ)
. s(a−b+c)-ab
=α (pa—qb) +ẞ(rc-ab)
2
と表せる。
2
今, 市, 石, さは1次独立だから、②の両辺
の係数比較が許されて
HA
D-ON
pã+(1−p)b+pc_b
+
2
=(5)
2
2
= p(OM - ON)
s=pa
-s-q=-qa-qB
大いぬ
志え未
Answer
= DNM
s=rβ
であるから, Dは線分MN
カ≠0,g=0, r = 0 より
上にある。 ■
S
DA&ITA
α=
p
α-
19
O
AB
S
B=
r
③⑤ ④に代入して,
B
S
SO
D
S
+-1
-1=
Þ
r
解答・解説
s≠0より
1 1
+
p
r
=
1 1
+
q
S
※1:1⇔AB=DCより, 四角形ABCDは平行四
辺形。
OA+OC=OB+OD 1......
10,6=0, OC とおくと、より
OD-a-b+c
であるから,
261

1.
A
P
T-P
2
0
5
-S. D.
B
<>
2
OB 100² 802.
op = POA, O₂ = GOB
dà - GOB, OR = ro, 0} = SOD 1+ MLZ.
2
OP
-2
OR
OQ
4
)
OS
6
op
a
Þ
02
ou t
r
5177
47.4 R. & Zu
+
P
5
172