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基本 例題 181 陰関数で表された曲線と面積 (2)
与式は成り立つから, 曲線はx軸, y 軸, 原点に関して対称
であることがわかる。ゆえに,x0,y≧0の範囲で考える。
①
y=x√4-x2
このとき,y2=x2(4-x2) 0から
よって, 曲線①とx軸で囲まれる部分の面積を求め,それ
を4倍する。
曲線 (x2-2)'+y2=4で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
00000
重要 109, 基本 180
指針 この例題も陰関数で表された曲線の問題であるが, 曲線の概形はすぐにイメージでき
ない。 そこで,まず, 曲線の対称性に注目してみる (p.185 重要例題 109 参照)。
(x, y) を (x, -y (-x, y), (-x, -y) におき換えても
基本
媒介変
で
指針
yA
(-x, y)
(x,y)
0
I
(-x, -y)
(x,-y)
CHART 面積計算はらくに 対称性の利用
曲線の式で (x,y) を (x, -y), (-x, y),
解答 (x, y) におき換えても (x2-2)2+y2=4は成り
立つからこの曲線はx軸, y軸, 原点に関して対
称である。
解答
y=-x√4-x²
y=x√4-
別
したがって, 求める面積Sは,図の斜線部分の面積
の4倍である。
(x2-2)2+y2=4から
-2
y2=x2(4-x2)
y=x4x2
x0,y=0のとき
y=x√4-x2
ここで, 4-x20 であるから
-2≤x≤2
x≧0と合わせて
0<x<2のとき
y=√4-x+x..
0≤x≤2
-2x
4-2x2
x 0
2√4-x2 √4-x2
y'
+
y 0 >
202
√2 2
0
dx
y' = 0 とすると,0<x<2では x= =√2
0≦x≦2における増減表は右のようになる。
よって
S=4S«x √4¬x² dx=4S*(4−x²)². (4-x²
==
=
=-21/2/3(4)3-13 (0-1)
32
翌3
4-x=t とおくと
-2x dx=dt
S=(-)
◄4=(22)=23=8
x=2sin0
[参考] この曲線は, リサージュ曲線
である(p.188)。
ly=2sin20
練習 次の図形の面積Sを求めよ。
③ 181 (1) 曲線 √x+√y=2とx軸およびy軸で囲まれた図形
(2) 曲線y=(x+3)x2で囲まれた図形
(3) 曲線 2x2-2xy+y²=4で囲まれた図形
P,318 EX151, 152
②
