Question

かや

【写真】1️⃣🟡黄色マーカーのとこから🟥赤のマーカーになるところがわかりません💦
黄色のところが成り立つのはわかるのですが、成り立ったらなぜ赤に持っていけるのでしょうか？
2️⃣実数になれば成り立つと言えるのでしょうか？
わかりにくい質問ですみません🙏

【問題】
a + b≧2vab (a>0b>0)を証明してみよう。
で問題ではa+bしか出てこないのに、
【解答解説】の証明
a>0、b>0のとき、 a + b≧2√ab
を証明するには、 根号を含む不等式だから、 2乗して差
をとり、
(a+b)-(2vab)2= (a² +2ab + b2) - 4ab
-
= α2 -2ab + b2=(a-b)2≧0
a²
よって、(a+b)≧(2√ab)
a>0、b>0のとき、a+b>0、 2√ab >0だから、
a+b≧2vab
等号が成り立つのは、a-b=0、すなわち、 a=bのと
き。
...
(*)

数ii 相加平均 相乗平均

Answer 1

きらうる

黄色のマーカーのすぐ上に
(a+b)²≧(2√ab)²
という式があります。a+b＞0、√ab＞0であれば、この式の2乗がとれて
a+b≧2√ab
が成り立つというわけです。

ちなみに、a,bが負の数の場合は成り立ちません。
具体的な数でいえば、a＝-1、b＝-2のとき、
a+b＝-3、ab＝2になりますので、
(a+b)²＝(-3)²＝9
(2√ab)²＝8　だから、
(a+b)²≧(2√ab)²は成り立ちますが、
a+b≧2√abは成り立ちませんよね。
だって、-1≧2√2　になってしまうわけですから。