Question

しずく

(2)で解と係数の関係によって示された3つの恒等式が成り立つということを示すことができれば、β、γは※の解として示すことができるのでしょうか。三次方程式から解と係数の関係を導くことはできますが、解と係数の関係を満たすならば、その3解は解と示すことができるという逆が成り立つのかがわかりません。このまま、続けて証明していけばいいのか、もしくは別の正しい解き方があるのかを教えてほしいです。

3 3次方程式 x3x+1=0・・・・について考える。
(1) ※は異なる3つの実数解をもつことを示しなさい。
(2)の解で最大のものをαとし、β=α2-2,r=B2-2 とする。 このとき、β、γは※のα 以外
の2解であることを示しなさい。
(早稲田大学)
※について、解と係数の関係より、
2+3+7=0
QB+B+α=-3
(1)
f(x)=x-3x+1
f'(xx) = 3x²-3
とする。
=3(x-1)=3(x+1)(x-1)
fx1=0となるxの値はx=±1
よって増減表は次のようになる。
1+0=0+
13-17
よってい
x=1のとき、極大値3
x=1のとき、極小値 -1
※は異なる3つの実数解をもつ。
237=-1
よって、これらが成り立つことを示せばよい。
2+3+7
=a+α-2+3-2 = gla²-30+1)
ここで、αは※の解なので、03-3α+1 = 0
よって、a+B+7=0
-1
-1
&
1=f(x)

3次方程式 関数と方程式 解と係数の関係 早稲田大学

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

解と係数の関係は逆も成り立ちます
実際に考えてみれば簡単に確かめられますし、
和と積から方程式をつくる問題は教科書にもあります

その方針でいいと思います

ただその記述（解と係数の関係より）だと
βやγが解であることが前提になっています
それ自体を示す問題なので、
右ページ最初の5行は消したほうがいいと思います

しずく

よくわかりました。ありがとうございます。ということは、α+β+γ=0だけでなく、残りの2つの等式が正しいことも示す必要があるということですね。

GDO

最初に方針を記載するのはよいと思います。
「解と係数の関係より」の表現が最初にあると引っかかるようなので、
ご指摘を踏まえ、
「３つが成り立つことを示し、解と係数の関係を用いて、与式の３次方程式が
α、β、γを解にもつことを証明する」という表現にするとよいかと思います。

他の方法としては、
βを方程式に代入し、αに変換し、方程式が成り立つことを示す（γも同様）。
ただし、α≠β、α≠γ、β≠γ、であること確認しておく必要があります。
（解と係数の関係を利用する方が計算は簡単です）

しずく

返信ありがとうございます。しかし、後の2つの等式の証明の仕方がわかりません。何かヒントをくれませんか。

和

少なくとも、
高等なことをしなくても、
1つ目を示せたのと同じように素直にやればできますよ

1つ目はα³-3α+1=0が成り立つことを使いました
つまりα³ = 3α-1です
これは次数下げに使えます
βやγをαの式にするとαの高次式になりますが、
α³があれば3α-1にすればよいし、
α⁴があればα×α³ = 3α²-αとする、などです

しずく

次数がそのようにして下げられるなんて😊ありがとうございます✨