Question

し　【難関大学志望】

gの2乗ってなんで1,4,16なんですか？その他は入らないのですか？平方数なのは分かりました。

問題 5-10
2つの自然数A,B(A<B)の最小公倍数をLとする
このとき
L'-AB=1680..(☆)
を満たす自然数の組 (A,B) を求めよ。
難
(福岡大)

方針
g = G(A,B) とおくと,p.62 の公式より,
A = ag
B = bg (a とは互いに素な整数)
\L = abg
と表せます。
これを(☆)に代入して, 方程式を解きます。
問題5-10の解答
g=G(A, B) とおくと,
A = ag
B = bg (a と 6は互いに素な整数)
L = abg
と表せる。 (☆)に代入すると,
(abg) - agbg=1680
abgabg2=1680
(a2b2-ab)g2=1680
ab(ab-1)g2=1680... (☆☆)←は1680の約数とわかる
ここで,g' は平方数であり, 1680 (2･3･7･5) の約数であるから!
は 1.4 16 のうちどれかである。
(i) g2=1のとき
このとき(☆☆)は
ab(ab-1)=1680...(☆☆☆)
n(n-1) は増加関数!!
-2 連続整数の積が1680 の形
ここで,
41 x 40 1640
42x41=1722
より、2連続整数の積は1680にならない。
よって, (☆☆☆)を満たすα, bは存
在しない。
(ii) g' = 4 のとき
このとき、(☆☆)は
ab(ab-1)=42021 × 20
増加していく
1·0=1 (n=1)
2-1=2 (n=2)
3.2=6(n=3)
41.401640 (n=41 )
← 1680 はこの間にある
42411722 (n=42)
D
よって、2連続整数の積は1680
にはならない。

Answer 1

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mo1

＞平方数なのは分かりました。

●g²が1680の約数であることから素因数分解を考え
　　1680＝1×2⁴×3×5×7　なので
　　この中から平方数を作れるのは
　　　1²＝1，2²＝4，2⁴＝16　しかないということです