Question

ひきわり

この問題を見たときに、ラグランジュの乗数法を使うのかと思ったのですが、上手くいきませんでした。
また解答では違うやり方を使っています。
この場合、ラグランジュは使えないから、この方法しかないということでしょうか？

よろしくお願いします🙇

5 f(x,y,z)=x+y+z ' +1 で与えられる関数 f(x, y, z) の極値とその座
標 (x, y, z) を求めよ。 ただし,x>0,y0,z0 であり,かつ x +4y+9z=6
の付加条件があるものとする。
<筑波大学第三学群・工学基礎学類>

228 類題 章末問題解答
g'(x)= (x, f(x)). dx + 2(x, f(x)). df
24
ax
dx ay
dx
2
24
-(x, f(x))·1+· -(x, f(x)) f'(x)
ax
ay
よって,
24
2¢
g'(0) -(0, ƒ(0))+ -(0, ƒ(0)).ƒ'(0)
ax
ay
24 (
ax
=a+26
4 (i) z=z(x, y) の値が積 xy の値だけ
によって決まるとする。
u=xy とおくと,z = f(u)
よって,
əz
du
= f'(u). Ou = f'(u) •y=y.f'(u)
ax
ax
az
ay
X
əz
ay
.. y
-(0, 0)+ -(0, 0).f'(0)
2¢
ay
=f'(u)・
əz
ax
əz əz
x =y
ax
az əz
ay
(ii) x- -=y とする。
ax ay
u=xy とおくと,
z=(x, u) または z = p(y, u) と表せる。
z=g(x, u) として証明は一般性を失わない。
əz
x = x (x, u) + Q₁(x, u).y
ax
-=4px(x, u)x+yu(x, u).xy
əz
ay
du
x- =y-
-= f'(u) •x=x f'(u)
ay
= pu(x, u).x
(=xy.f'(a))
-=Q₂(x, u).xy
az əz
ax ay
x (x, u)x+u(x, u).xy=pu(x, u).xy
... px (x, u).x=0
これがすべてのxについて成り立つから,
4x(x, u)=0
よって, z=z(x,y) の値は積xy の値だけ
によって決まる。
(i), (i)より, 題意は示された。
5 x +4y+9z=6より, z=-
より,
1
... f(x,y,z)=1+ +
x
y
これをg(x,y) とおく。
6-x-4y
9
9
6-x-4y
+1
1
9
x² (6-x-4y)²
(6-x-4y)²
9
6-x-4y
9
gx(x,y)=-
x² =
x>0, z=-
6-x-4y
3
... 4x+4y=6
gy(x,y)=-
y² =.
y>0,z=
... 2x+2y=3 ...... ①
1
36
+
-=0 とすると,
y2 (6-x-4y)2
(6-x-4y)2
36
>0 に注意すると,
6-x-4y
=0 とすると、
6x4y0 に注意すると,
9
y=- 6
... x+10y=6 ...... ②
1
①
② を解くと, x=1, y=-
2
よって,g(x,y) の停留点は (1, 1/2) のみ。
一方, x>0,y>0,z=
より, x>0,y>0, x+4y<6
この領域をDとすると,
11
9
g(x,y)=-+-+
·+1
xy 6-x-4y
は D の内部に最小値をもち, そこで極小と
なっていることが分かる。
6-x-4y
9
極小値をとる。
極小値は,(1,
11.1/11/23)
->0
極小となりうる点は 1,
(1/1/2)の
ら,g(x,y) は (1,
すなわち, f(x,y,z) は
12 (1. 1/2, 1/3) -
1,
で
'3
のみであるか
で極小値をとる。
=1+2+3+1 = 7

数学 ラグランジュの乗数法

Answer 1

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Take

ひきわり様
こんばんは。
解答例は「条件付き最大・最小問題は、条件式から文字減らし」という高校数学の鉄則のような解答です。
もちろんこれでよいのですが、ひきわり様のご指摘のとおり、ラグランジュの乗数法でもいけます。
(解答)
f(x,y,z)=(1/x)+(1/y)+(1/z)+1 , g(x,y,z)=x+4y+9z-6=0 とおく。
ラグランジュの乗数法より
　fx/gx=fy/gy=fz/gz
∴-1/x²=-1/4y²=-1/9z²
よって、1/x²=1/4y²=1/9z²=1/k² (k>0) とおくと、　←「=k とおく」より簡単である
∴x=k , y=k/2 , z=k/3
これを条件 x+4y+9z=6 に代入して k=1
∴x=1 , y=1/2 , z=1/3
このとき、f(1,1/2,1/3)=1+2+3+1=7　…①
また、条件 x+4y+9z=6 を保ちながら x→+0 , y→+0 とすると f(x,y,z)→ ∞ であるから
極大値は存在しない。したがって、①より
　極小値 7 (x=1 , y=1/2 , z=1/3)　■
あるいは、極大値はないが極小値はあることに気がつけば、次の解答はどうでしょう。
(解答)
x,y,z>0であるから x=1/X² , y=1/Y² , z=1/Z² とおくと問題文は
「(1/X)²+(2/Y)²+(3/Z)²=6 のとき、f=X²+Y²+Z²+1 の極小値を求めよ。」
に読み替えることができる。Cauchy-Schwarzの不等式より　← (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≧(ax+by+cz)²
　(X²+Y²+Z²)｛(1/X)²+(2/Y)²+(3/Z)²｝≧(1+2+3)²
　∴(X²+Y²+Z²)｛6｝≧36
　∴X²+Y²+Z²≧6
　∴f=X²+Y²+Z²+1≧7
等号成立は、
　X=1/X , Y=2/Y , Z=3/Z ⇔ X²=1 , Y²=2 , Z²=3 ⇔ x=1 , y=1/2 , z=1/3
のとき。ゆえに、
　極小値 7 (x=1 , y=1/2 , z=1/3)　■

ひきわり

ラグランジュの乗数法を使った解法を挙げていただきありがとうございます。
しかしながら、私の思っているラグランジュの乗数法のやり方と異なっているので少し質問させて下いただきたいです🙇

①私は編入数学徹底研究の例題にあったやり方しかわからないのでそれを参考にして解きました。写真1枚目です。λを使って解いています。しかし、条件式からλを求めるときに根号の中にマイナスが入ってしまいλの値を求めることができませんでした。これが１つの悩みです。

②Take様のやり方は微分したものを全て＝で繋ぎ、kではなく1/k^2とおき、上手くいっています。λのやり方とやっていることは同じでしょうか？同じだとしたら式の意味を教えていただきたいです。

よろしくお願いします🙇

Take

ひきわり様
ご質問に回答します。
【①について】
ひきわり様のうっかりミスです。テキスト通りであれば、
　fx=λ・gx　…(1)
　fy=λ・gy　…(2)
　fz=λ・gz　…(3)
(1)より　-1/a²=λ　∴λ=-1/a²
(2)より　-1/b²=4λ　∴λ=-4/b²
(3)より　-1/c²=9λ　∴λ=-9/c²
よって、λ=-1/a²=-4/b²=-9/c²
になります。
【②について】
上記の(1)～(3)を λ について解くと
(1)' λ=fx/gx
(2)' λ=fy/gy
(3)' λ=fz/gz
よって、(1)'～(3)'より
　fx/gx=fy/gy=fz/gz　…(☆)　←ラグランジュの乗数法の条件から gx≠0 , gy≠0 , gz≠0
となります。
私の経験上、(1)～(3)の形よりも(☆)の方が、λが無いぶん、使いやすいと思います。

ひきわり

λ=-1/a^2,-4/b^2,-9/c^2をa+4b+9c=6に代入することで文字を使わずにλを求めるのではないですか？
そのためにはa=, b=, c=のかたちで表せなければいけないと思ったのですが、、

Take

ひきわり様
こんばんは。まず前回の訂正をします。
(1)(2)(3)から得られるのは
　λ=-1/a²=-4/b²=-9/c²
ではなく、
　 λ=-1/a²=-1/4b²=-1/9c²
でした。失礼しました。
さて、「 λ=-1/a²=-1/4b²=-1/9c² を a+4b+9c=6 に代入することで λ を求めるのではないですか？」というご質問ですが、
もちろん可能です。a,b,c>0 より a²,b²,c²>0 であるから
　 λ=-1/a²=-1/4b²=-1/9c² <0
であることに注意すると
　a²=-1/λ , b²=-1/4λ , c²=-1/9λ　←右辺はすべて正
∴a=√-(1/λ) , b=(1/2)√-(1/λ) , c=(1/3)√-(1/λ)　…(☆☆)　←a,b,c>0 より「+√　」 の方。また、λ<0より根号内はすべて正
これを a+4b+9c=0 に代入すれば
　√-(1/λ)=1　∴λ=-1
よって、(☆☆)より
　a=1 , b=1/2 , c=1/3
が得られます。

ひきわり

納得です！
ご丁寧な解答ありがとうございます😭