段(nは自然数) ある階段を1歩で1段または2段上がるとき、この階段の上
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がり方の総数をan とする。 このとき, 数列{an}の一般項を求めよ。
指針 数列{an} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く。
段に達する
1歩で上がれるのは1段または2段であるから, n≧3のときn
直前の
作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法
[2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法
の2つの方法がある。このように考えて、まず隣接3項間の漸化式を導く。
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漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題 41 と同様であるが、ここでは
特性方程式の解α, βが無理数を含む複雑な式となってしまう。 計算をらくに扱う
ためには,文字α, βのままできるだけ進めて, 最後に値に直すとよい。
a=1, az=2である。
解答 n ≧3のとき, n段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の
場合がある。
[1] 最後が1段上がりのとき、 場合の数は (n-1) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
通り
[2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は (n-2) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
an-2通り
[1]
最後に1段上がる
(n-1) 段
a=
②から
③から
④-⑤ から
1-√√5
2
n段
ここまでαn-1 通り
COSPREE
よって
an=an−1+an-2(n≧3)
(*)
この漸化式は, an+2=an+1+an (n≧1) ①と同値である。
x=x+1の2つの解をα, β(a <β) とすると, 解と係数の
関係から a+ß=1, aß=-1g. (I-s)=(I—s)
①から
an+2-(a+β)an+1+aban=0
よって
9
[2] 最後に2段上がる
an+2-dan+1=β(an+1-aan), a22da=2-a
an+2-Ban+1=a(an+1-Ban), az-Ba=2-B
B=-
......
(n-2)
......
an+1-dan=(2-α)βn-1
an+1-Ban (2-B) an-1
(B-a)an=(2-α)βn-1-(2-β)α7-1
1+√5
2
であるから 0 β-α=√5
また, α+β=1, α2=a+1, β2=β+1 であるから
2-α=2-(1-β)=β+1=β^ 同様にして 2-β=2
よって, ⑥ から
\n+1
- // ((¹+2√/5 ) **¹-(¹-√/5 )"+")
an=
1-√√√5 +1
.......
(4)
③3
n=2
(n-1) 段
n段
ここまでαn-2通り
和の法則 (数学A)
(*) でn→n+2
特性方程式
x2-x-1=0の解は
-1+√5
2
a=1, a=2
x=
arn-1
an+1 を消去。
α,βを値に直す。
2-α, 2-βについて
は,αβ の値を直接
代入してもよいが,こ
こでは計算を工夫し
ている｡
