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参考・概略です
{a,b,c}の順に等差数列をなす事から
公差を考え、b-a=c-b から、a+c=2b
{c,a,b}の順に等比数列をなす事から
公比を考え、a/c=b/a から、bc=a²
a+c=2b,bc=a²より、abc≠0を条件に関係式を求め
①b=-(1/2)a,c=-2a
このとき、
{a,b,c}={a,-(1/2)a,-2a}・・・公差:-(3/2)a
{c,a,b}={-2a,a,-(1/2)a}・・・公比:-(1/2)
②b=a,c=a
このとき、
{a,b,c}={a,a,a}・・・公差:0
{c,a,b}={a,a,a}・・・公比:1
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補足計算
a+c=2b から、c=2b-a
bc=a² に、c=2b-a を代入し
b(2b-a)=a²
2b²-ab-a²=0
(2b+a)(b-a)=0
b=-(1/2)a で、c=-2a
b=a で、c=a
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助かりました!