Question

あ

微分を使った最大値最小値を求める問題についてです。

この写真のような極限を求める必要がある問題(赤い線を引いたところに書いてあります)の見分け方を教えてください。
なぜ極限を求めるのかがわからないです😭

参考に他の極限も求める必要がある問題の画像も載せてみます(2枚目の問題181です)。181の解説は3枚目の画像です。

1-x
例題 14 関数 y=
(x+1)2
(x≧0) の最大値、最小値を求めよ。
用
指針 定義域は x≧0 である。 この場合, x=0 のときのyの値と極値を比較するだけでな
く, limy を調べてこれらと比較する必要がある。
x→∞
3
-
0
極小
+
y
1
8
解答
x>0では
y'=(x+1)*
x-3
7.
x
0
y'=0 とすると
x=3
y'
よって, x≧0 におけるyの増減表は右のようになる。
11
y
1
-
1-x
2
また limy = lim
x
x→∞
818
=lim
(x+1)2
x
x→∞
2=0
+
x
したがって, yは
x=0 で最大値1,x=3 で最小値1をとる。圏
01 3
x
18

/181 次の関数の最大値、最小値を求めよ。
x-1
*(1) y=x2+1
(3) y=√x²+1+√(x-3)²+4
(2) y=x-√x²-1
*(4) y=\x\e*

のとき
常にf'(x)>0であるから, f(x) は極値をもたな
い。
> 0 のとき
f'(x) = 0 とすると x=1±√a
よって、yの増減表は次のようになる。
X
-1
1
y'
+
y
-1
1
I
増減表は次のようになる。
また
X
f'(x)
+
1-√a
0
1
1+√a
...
0
+
lim y=18
→∞
lim y= lim(x-√x2-1)
f(x)
極大
極小
=lim
-√x2-1)(x+√x2-1)
したがって, f(x) はx=1-√a で極大値をとる。
このとき、 極大値は
=lim
1
よって, yは
=0
xx-1
よって,yは
また20, limy = ∞
x=0で最小値0をとる。
最大値はない。
以上から、yの増減表は次のようになる。
-1
x
0
Ty
+
0
1
y
0
e
181
00
a
f(1-√a) = (1-√a)+
=1-2va
(1-√a)-11
x=1で最大値1
をとる。
-1
最小値はない。
-1
条件より
1-2√√a=-1
0
182
ゆえに
a=1
これはα>0を満たす。
(142)
1
-1
181 (1) y=
(x2+1)2
1.(x2+1)(x-1)2x=x
x²-2x-1 (1.1=(x) (S)
(x2+1)2
353
(3)y'
x-3
+
√√√x²+1
y'=0 とすると
√(x-3)²+420-
y'= 0 とすると
==
よって, yの増減表は次のようになる。
xv√(x-3)2+4=(x-3)√x2+1
x
...
1-√√2
両辺を2乗して整理すると
これを解くと x=-3, 1
x²+2x-3=0
1+√2
y'
-
0
+ (0
√2+1
y
7
√2-1
このうち, ①を満たすのはx=1
よって, yの増減表は次のようになる。
cos2x=1/12 (12)
2
2
x
***
1
(1+)S
=(
よって
2x=±
ゆ
x=
y'
0
y
3√2
7
[1]>0のとき
の増減表は次のようになる。
■■■指針■■■
与えられた関数は連続であるから、定義域の
両端のyの値もしくは極大値が最大値の
補となる。
a の符号によって、関数の増減や極大値をと
が変わってくるから,αの正負で場合分け
する。
y' = a(1-2cos2x)
a=0のときは y=0 となり、条件に適さない
THE
よって, a≠0である。
したがって, y'=0 とすると TOA-38
yt
1-√2
-X
また
よって, y
limy=0, limy=0
x=1+√2 で
最大値
8.
√2-1
2
x=1-2で
最小値 -
√2+1
08- 2
をとる。
12
(2)この関数の定義域は,x21≧0から
x-1, 1≦x
x<-1, 1<xでは
y'=1--
x
Vx2-1
18
また limy = 8,
lim y=∞o
(4) [1] ≧0のとき
y=xe であるから
x>0では
よって,x>0では常に
√2-1
π
y1
x
1/6
75
:
6
2
2
1+√13
01+√2 x
y'
+
0
0
8
よって、 は
3/2
極大 \
極小
y
√2+1
x=1で最小値 3√2
く
をとる。
√√√3
7
最大値はない。
x=1のとき
y=
2
0 1
x=2のとき
y=a
y=(x+1)e*
*1=0
ここで,
2
6
081
[2]<0のとき
√3
TC
であるから
2
6
y'=0 とすると
y'=-(x+1)e*
y=-xe* であるから,x<0では
よって,a>0のとき
2
x=-1

極限 微分 極値

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

かき

基本的に関数の最大値や最小値は、定義域(xの範囲) が大きい側も小さい側も決まっていれば、その範囲内だけで考えればよいです。
ですが、範囲が限定されていない、または、大きい方か小さい方だけしか限定されていない場合は、限定されてない方向の♾️(無限)まで考えた時の値、つまり極限値がいくつになるかをみて、最大や最小を取り得るのかを判断しないといけないです。
例えば、y=x (x≧0)の最大値と最小値を求めよ、という問題の場合、、、
最小値は、xの小さい側がx=0と限定されてるので、この時のyの値 y=0 が最小値だと求まります。
しかし、最大値は、xの大きい側が、x=♾️ のとき、y=♾️ となるため、極限値が存在せず、最大値がないことになります。
だから、xの範囲が限定されてない方向の極限値を求め、ホントに最大値や最小値が存在するのかを調べる必要があるのです。

あ

わかりやすい説明ありがとうございましたす😭本当に助かりました！！

かき

よかったです。