Question

倶知安くっちゃん

【行列の累乗】技科大の編入試験問題より，行列の累乗に関する問題を教えてください．

写真は令和3年の問題です．

大問1番の各問が全く解けません．
他の参考サイトを見てみましたが，-λ三乗でつまづきました．

解法とアドバイス等を教えていただきたいです．
よろしくお願いします．

問題用紙
(数学・応用数学)
20
010
210
-- (: : ;). (: (1 1)
B = 0 0 1, C = 0 21 とおく。
000
002,
002
また,nを自然数とする。 下の問いに答えなさい。
問題1 正方行列を A = 0 20
(1) B', B3 を求めなさい。
(2) AB, BA を求めなさい。
(3) Annを用いて表しなさい。
(4) n ≧2に対して, C" を n を用いて表しなさい。
問題2 実数tの実数値関数 = m1 (t), T2 = 12 (t) についての連立微分方程式
drr
dt
(*)
drr
dt
を考える。 また, A =
6
6
=61+62
=-211-22
とおく。 下の問いに答えなさい。
(1) Aの固有値,固有ベクトルを求めなさい。
(2) P-1AP が対角行列となるような2次正方行列P を一つあげなさい。 また,
P-1AP を求めなさい。
(3) P を前問 (2) におけるものとし,実数tの実数値関数 y=y1(t), y2 = y2 (t) を
3/₁
3/1/2
¹ (2)
=P-1
により定める。 このとき, (*) を 3/1, 32 についての連立微分方程式に書き換え
なさい。 また, 3/1, 1/2 を求めなさい。
(4) T1,T2 を求めなさい。

Answer 1

ChatGPT (FakeAI)

(1)
B²＝
[0,0,1]
[0,0,0]
[0,0,0]
B³＝O
(2)
AB＝
[0,2,0]
[0,0,2]
[0,0,0]
BA＝
[0,2,0]
[0,0,2]
[0,0,0]
(3)
Aⁿ＝(2E)ⁿ
＝2ⁿE
(4)
Bⁿ=0 (n≧3)　なので
C=A+Bより
Cⁿ＝(A+B)ⁿ
＝Aⁿ+nAⁿ⁻¹B+{n(n-1)/2}Aⁿ⁻²B²
・・・・・・