Physics
มัธยมปลาย
（1）なぜ3枚目のように求めてはいけないのですか？
演習 8-2
図のように, ばね ばね定数k) の一端を天井に固定し、他端に小物体(質量
mg
だけ伸びたところでつり合った (重力加速度の
m) を接続すると, ばねが
k
大きさg). ばねが自然長となる小物体の位置を原点として, 鉛直上向きにx軸
を定め, x軸に沿った小物体の運動を考える. 小物体の位置を座標xを用いて表
し、速度をv, 加速度をaと記す.
mg
の位置から,x=0の位置までゆっくりと運ん
(1) 小物体に外力を加え x=- k
だ.この間の外力の仕事 W を求めよ.
時刻 t=0にx=0の位置で, 小物体を静かに放した.
(2) 運動方程式より
k
mg
- - /h2² ( x + m²)
m
k
ma=-kx-mg
となる. 運動を時間追跡し, その結果を用いて, v²をxの
関数として表せ.
(3) 運動エネルギーの変化が, 弾性力と重力によってされた
仕事に等しいことを用いて, ぴとxの間の関係式を作れ.
(4) 運動エネルギーと弾性エネルギーの和の変化が,重力に
よってされた仕事に等しいことを用いて, v2とxの間の関
係式を作れ.
(5) 運動エネルギーと弾性エネルギーと重力の位置エネル
ギーの和が保存することを用いて, v”とxの間の関係式を
作れ.
.. a=-
ooooooo
方針
(1)は仕事の計算. 外力を求め, 仕事の定義に従って計算すればよい. 一方で,
外力以外に現れる力は,重力と弾性力のみであるから, エネルギー収支から仕
事を逆算することもできる.
(2)以降は,単振動であるから、時間追跡もエネルギーでの扱いもできる. そ
こで,演習8-1 と同様に,指示に従って各手順を確認しておく.
よって、仕
物体と
に
[解説]
(1)外力を鉛直上向きにFとすると､位置xでのつり合いから、
0=F-kx-mg
.. F=kx+mg.
よって、 仕事の定義に従って,
w=5° mp F dx = [ 1/2 kx² + mgx ]
W=
mg
-my
一方で、エネルギー収支を考えて求めてもよい。
物体とばねと重力場で1つの系と見て '15,
(mg)² (mg)² _ (mg)²
+
2k
k
2k
.. W=
2
(1/ -k · 0² + mg · 0) - { 1⁄2 k(mg) ² + mg ( - mg)} =
力学的エネルギーの変化
(2) 運動方程式より
d²x _ _ h (x + m² )
k
mg
dt²
k
m
x = -
(mg) 2
2k
よって, 振動中心x=-
x=
mg
k
mg
k'
mg mg
+
k k
角振動数ω=
+ Csin (wt) + Dcos (wt),
os(wt), v=-.
COS
mg
k
k
m
2
そこで, x+mg)+(C) を作ると '16.
kx
v=Cwcos(wt) - Dwsin (wt)
と表される. 初期条件x (0)=0,u (0) =0を代入すれば,D=-
まるから、
mg
kwsin (wt).
縮みx
-x
+0 (自然長)
W
外力による仕事
の単振動となり, 一般解は,
第1章 力学
mg C=0と決
k'
*15 どちらでやっても手間はさほど変わらないが,両方できるようにしておくことが大切
*16 を消去するために, sin' (wt) +cos' (wt)=1が使えるように変形する.
mg
W = F.m
= (he + mg) my
amg, (mg)
+
11
=
คำตอบ
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