Question

ぷりん🍮

数II微分
1番下の検討のところがどういう意味か分かりません。上にあるやり方は理解できたのですが下の解の方が明らかに記述量が少ないので習得したいです。
6分の1公式も積分のやり方も分かるのですがどうしてこれで導くけるのかがよくわかりません？

重要 例題 209 3 次関数の極大値と極小値の差
関数f(x)=x-6x2+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき,定数aの
値を求めよ。
指針 前ページの例題と同じ方針で進める。 x=αで極大値, x=βで極小値をとるとすると
極大値と極小値の差が4
f(α)-f(B)=4
f(a), f(B) を実際に求めるのは面倒なので, f(a) - f(B) を α-β,α+β, aß で表し,
更に(α-B)=(a+3)-4cfg を利用することで, at B, cB のみで表すことができる。
解答
f(x)=3x2-12x+3a
f(x) は極大値と極小値をとるから,2次方程式 f'(x)=0 すな
わち3x²-12x+3a=0
① は異なる2つの実数解 α, β
(a<β)をもつ。よって,① の判別式をDとすると D>0
D=(-6)-3-(3a)=9(4-a) であるから 4-a>0
4
したがって a<4
(2)
f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=α で極大,x=β
で極小となる。
f(a)-f(B)=(ω°-β3)-6(α²-β2) +3a (a-β)
=(a-B){(a²+αβ+β2) -6(a+β)+3a}
=(a-β){(a+B)2-αB-6(a+β)+3a}
a+β=4, ab=a
!
① で, 解と係数の関係より
よって
(a-β)²=(a+B)²-4aß=42-4・α=4(4-α)
α<βより, a-β <0であるから
a-β=-2√4-a
ゆえに f(a)-f(β)=-2√4-a (4°-a-6・4+3a)
=-2√4-a{-2(4-a)}
= 4( √4-a)³
f(a) - f(β)=4であるから
すなわち
(√4-a)³=1
ゆえに, 4-α=1から
4(√4-a)³=4
よって
a=3
√4-a=1
これは②を満たす。
今回は差を考えるので,
α<βと定める。
基本 208
a
x
B
f'(x) +
0
0 +
f(x) 極大 極小 >
3次関数が極値をもつとき
極大値>極小値
< ② から 4-a>0
よって √4-a> 0
325
14-a=(√4-a)²
検討
f(a) -f (B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると,らくである。
sa-f(B)=f(x)dx=S" (x-a)(x-3)dx=3{-1/(a-B)}
これに α-β=-2√4-a を代入して, f(a)f(B)=4(√4-a) となる。
6
<√4-α=1 の両辺を2乗し
て解く。
←p.352 基本例題 230 (1
の公式を利用。

Answer 1

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かきつばた

‪α‬とβで、元の関数の極値をとり、極値の差が4だから、微分した関数をβ→‪α‬の範囲で、積分したらf‪α‬-fβになるよね？
∫f'xdx=fx+Cとすると、∫β→‪α‬ f'xdx=f（‪α‬)-f(β)になるでしょ？で、今はf'x=3x²-12x+3aだから、1/6公式使うために、3を括り出して、積分するだけ

ぷりん🍮

微分を積分ってことだったのですね！
理解できました！
ありがとうございます♪

かきつばた

その理解でいいよ！