Question

るり@プロフ必読

数学　同値関係　可算集合

画像の２つの問題がわからなかったの出てで教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

11 集合 X と集合 Y が対等であることを表す関係~ を考える。 ある集合族 A において,この対等という
JeVMBT
#C
CO15653
関係は関係
2項関係は同値関
係であることを示しなさい。
JAGCÁST
12 全ての非負整数からなる集合Z+={x|n∈Z,x>0} が可算集合であることを示しなさい。

Answer 1

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crane

11.
（反射律）Xを集合族Aに属する任意の集合とする.
XからXへの恒等写像は全単射であるから, XとXは対等である. よってX〜Xが成り立つ.
（対称律）X, Yを集合族Aに属する任意の集合とし, X〜Yとする.
このときXとYは対等であるから, XからYへの全単射f:X→Yが存在する.
全単射なので逆写像f^{-1}が存在し, この逆写像f^{-1} : Y → XはYからXへの全単射になっている.
よってYとXは対等であり, Y〜Xが成り立つ.
（推移律）X, Y, Zを集合族Aに属する任意の集合とし, X〜Y, Y〜Zとする.
このときXとY, YとZはそれぞれ対等であるから, 全単射f:X→Y, g:Y→Zが存在する.
すると, 合成写像g∘f:X→Z はXからZへの全単射となる.
よってXとZは対等であり, X〜Zが成り立つ.
以上より, 〜は集合族A上の同値関係である.

12.
N＝{1, 2, 3, ...}を自然数の集合とする.
NからZ+への写像f: N → Z+ を,
f(n) = n-1　(n∈N)
で定義すると, これは全単射になっている.
実際, 単射であることは, m, n∈Nに対して
f(m)=f(n) ⇒ m-1 = n-1 ⇒ m=n
となることからわかる.
また, 全射であることも, 任意のy∈Z+ に対してy+1∈Nであり,
f(y+1) = (y+1)-1 = y
となることから分かる.
fはNからZ+への全単射ゆえ, NとZ+は対等である. つまり, Z+は可算集合である.

こんな感じかと思います.

るり@プロフ必読

とっても丁寧に教えていただきありがとうございます！😭✨