Question

mikou

数列の問題です。答えは2864です。
なるべく詳しく計算過程を教えて頂きたいです。

右図のように、奇数を
1段目には1から始めて1個, 2段目には3から始めて2個, 3段目には
5から始めて3個,
と書き並べていくとき、最後に29が現れるまでに, 最後の29も含めて書き並
べた数の和を求めよ。 ← 例題 5
9
7
5
1
35
79
9 11 13
11 13 15 17

数b 数列 シグマ

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

高橋

1が最後に現れるのは、1段目の左端
3が最後に現れるのは、2段目の左端
5が最後に現れるのは、3段目の左端
：
：
2n-1が最後に現れるのは、n段目の左端
⇒29が最後に現れるのは、15段目の左端（2n-1＝29）
よって求める和は、1段目から14段目までの合計+29

n段目の数の並びは、初項2n-1、項数n、公差2の等差数列
その合計は、(初項+末項)×項数÷2
末項は、初項+公差×(項数-1)＝2n-1+2(n-1)＝4n-3
よって、n段目の合計は、(2n-1+4n-3)n/2＝3n²-2n

1段目からm段目までの合計は、Σ(n＝1～m)(3n²-2n)＝3Σ(n＝1～m)n²-2Σ(n＝1～m)n
＝3(m(m+1)(2m+1)/6)-2(m(m+1)/2)＝(m(m+1)/2){(2m+1)-2}＝m(m+1)(2m-1)/2
1段目から14段目までの合計は、mに14を代入して、14×15×27÷2＝2835
29を足して、2864

mikou

理解出来ましたありがとうございます！

Answer 2

高橋

1が最後に現れるのは、1段目の左端
3が最後に現れるのは、2段目の左端
5が最後に現れるのは、3段目の左端
：
：
2n-1が最後に現れるのは、n段目の左端
⇒29が最後に現れるのは、15段目の左端（2n-1＝29）
よって求める和は、1段目から14段目までの合計+29

n段目の数の並びは、初項2n-1、項数n、公差2の等差数列
その合計は、(初項+末項)×項数÷2
末項は、初項+公差×(項数-1)＝2n-1+2(n-1)＝4n-3
よって、n段目の合計は、(2n-1+4n-3)n/2＝3n²-2n

1段目からm段目までの合計は、Σ(n＝1～m)(3n²-2n)＝3Σ(n＝1～m)n²-2Σ(n＝1～m)n
＝3(m(m+1)(2m+1)/6)-2(m(m+1)/2)＝(m(m+1)/2){(2m+1)-2}＝m(m+1)(2m-1)/2
1段目から14段目までの合計は、mに14を代入して、14×15×27÷2＝2835
29を足して、2864