Question

ゆー

[1]の証明のあとに[1]からなぜ双曲線関数と呼ばれるか分かるだろう、と書いてあるのですがなぜか結局よく分からなかったので教えてほしいです！

264
参 双曲線関数
事項
p.254 の練習 149 (9) では, 関数y=
ex-e-x
exte-x
の3つを 双曲線関数といい, グラフはそれぞれ右下のようになる。
① sinhx=
y4
2
3
coshx=
tanhx=
[1] の証明
ALTIN
ex-e-*
2
ette*
2
ex-e-*
e* te*
(左辺)=
-
の導関数を求めた。 この関数を含めて、次
y=coshx
y=e² O
y=sinhx
y=
C
双曲線関数の逆関数
y=-e
A ASIG
YA
251
なお, sinh x をハイパボリック サイン,
coshx をハイパボリック・コサイン, tanhx をハイパボリック・タンジェントとよぶ。
高校数学において,これらの記号を直接使う場面はないが,双曲線関数を背景とした入
試問題はよく出題されるので,その性質を知っておくと便利である。一部を紹介しよう。
sinhx
D 691
[2] tanhx=
coshx
[1] cosh’x−sinhx=1
[3] (sinhx)'=coshx
1
cosh"x
それぞれ三角関数に似た関係式であることに注目したい。 例えば, [1] は次のようにし
て証明できる([2]~[5] もそれぞれ確認してみよう)。
#TERO [>x>I-# (x)\ (S)
0
[5] (tanhx)'=
(12(>1- 1>x>1-) (R = (@r+ (x)\\
[4] (coshx)'=sinhx
(e*+e-x)*(ex-e^*)? _ e2x+2+e-2-(e2x-2+ℓ^2)=1=(右辺)示せ。
4
4
373 08=(1)
1-54 3=88) $18-5
[1] から なぜ ①~③ が “双曲線関数” とよばれるかがわ
かるだろう。 なお, 三角関数は円関数ともよばれており,
COSx, sinx は単位円上の点の座標として定義されている。
一方, coshx, sinh x は, 直角双曲線上の点の座標として定大10
義されている。
また,基本例題 75では,双曲線x2-y2=1の媒介変数表
t2+1
t²-1
示x=-
y=
を導いたが,このte とおき換え
2t
2t
るとx=cosht, y = sinht となる。
YA
y=tanhx
x
A (cosht, sinht)
91-il (S)
1 C
DESI 4TH
x
✓x-y²=1
(日)広島市大
mil=(s) 20
SH
p.262 の EXERCISES 119 (2) では,導関数を求める際に, 関数 y=log(x+√x2+1) か
TRIJED
らx=
- (=sinhy) を導いた。 このことから, y=10g(x+√x2+1)とy=sinh x は
2
逆関数の関係になっていることがわかる。
22
基
①1 高次
①
(2)
2② 方法
[1
[2
③
y
2