Question

ナツミ

どなたかこの問題の解答を作っていただけませんか😭

7. f(x) = arcsinx とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) (1-æ')f'(x) -æf'(x)=0が成り立つことを示せ .
(2) 自然数nに対して次の式が成り立つことを示せ.
(3) f(n) (0) を求めよ.
(1 − x²) ƒ(n+²) (x) − (2n +1)x f(n+¹) (x) − n² f(n)(x) = 0

微分

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

高橋

(1)
f'(x) = 1/√(1-x²)【※】 = (1-x²)^(-1/2)

【※↓】
y = arcsinx とすると、x = siny (-π/2≦y≦π/2、-1≦x≦1)、dx/dy = cosy
-π/2≦y≦π/2より、cosy≧0なので、cosy = √(1-sin²y) = √(1-x²)
f'(x) = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/cosy = 1/√(1-x²)
【※↑】

f''(x) = ((1-x²)^(-1/2))' = (-1/2)･(1-x²)'･(1-x²)^(-3/2) = (-1/2)･(-2x)･(1-x²)^(-3/2) = x･(1-x²)^(-3/2)
(1-x²)f''(x) - xf'(x) = (1-x²)･x･(1-x²)^(-3/2) - x･(1-x²)^(-1/2) = x･(1-x²)^(-1/2) - x･(1-x²)^(-1/2) = 0 ■

(2)
n = 1 のとき：「(1-x²)f'''(x) - 3xf''(x) - f'(x) = 0」が成り立てば良い。
f'''(x) = (x･(1-x²)^(-3/2))' = (x)'･(1-x²)^(-3/2) + x･((1-x²)^(-3/2))' = 1･(1-x²)^(-3/2) + x･3x･(1-x²)^(-5/2)【※】 = (1-x²)^(-3/2) + 3x²･(1-x²)^(-5/2)

【※↓】
((1-x²)^(-3/2))' = (-3/2)･(1-x²)'･(1-x²)^(-5/2) = (-3/2)･(-2x)･(1-x²)^(-5/2) = 3x･(1-x²)^(-5/2)
【※↑】

(1-x²)f'''(x) - 3xf''(x) - f'(x) = (1-x²)((1-x²)^(-3/2) + 3x²･(1-x²)^(-5/2)) - 3x･x･(1-x²)^(-3/2) - (1-x²)^(-1/2)
= (1-x²)^(-1/2) + 3x²･(1-x²)^(-3/2) - 3x²･(1-x²)^(-3/2) - (1-x²)^(-1/2) = 0 」

n = k のとき「(1-x²)f(k+2)(x) - (2k+1)xf(k+1)(x) - k²f(k)(x) = 0」が成り立つと仮定して、n = k+1 のとき
「(1-x²)f(k+3)(x) - (2(k+1)+1)xf(k+2)(x) - (k+1)²f(k+1)(x) = 0」が成り立つことを示せば、数学的帰納法により
すべての自然数nに対して「(1-x²)f(n+2)(x) - (2n+1)xf(n+1)(x) - n²f(n)(x) = 0」が成り立つことが示される。

「(1-x²)f(k+2)(x) - (2k+1)xf(k+1)(x) - k²f(k)(x) = 0」の両辺をxで微分すると、
(左辺) = ((1-x²)'f(k+2)(x) + (1-x²)f(k+3)(x)) - (2k+1)((x)'f(k+1)(x) + xf(k+2)(x)) - k²f(k+1)(x)
= -2xf(k+2)(x) + (1-x²)f(k+3)(x) - (2k+1)f(k+1)(x) - (2k+1)xf(k+2)(x) - k²f(k+1)(x)
= (1-x²)f(k+3)(x) - (2k+3)xf(k+2)(x) - (k²+2k+1)f(k+1)(x)
= (1-x²)f(k+3)(x) - (2(k+1)+1)xf(k+2)(x) - (k+1)²f(k+1)(x)
(右辺) = 0
すなわち、(1-x²)f(k+3)(x) - (2(k+1)+1)xf(k+2)(x) - (k+1)²f(k+1)(x) = 0 ■

(3)
「(1-x²)f(n+2)(x) - (2n+1)xf(n+1)(x) - n²f(n)(x) = 0」のxに0を代入すると、f(n+2)(0) - n²f(n)(0) = 0
f(n)(0)をa(n)とおくと、a(n+2) - n²a(n) = 0　⇒　a(n+2) = n²a(n)
これを数列a(n)の漸化式と見なすと、a(1) = f'(0) = 1、a(2) = f''(0) = 0、n≧3のときa(n) = (n-2)²a(n-2)
nが十分大きいとき、nが奇数ならばa(n) = (n-2)²a(n-2) = (n-2)²(n-4)²a(n-4) = … = (n-2)²(n-4)²…3²･1²･a(1) = (1･3･…･(n-2))²
nが偶数ならばa(n) = (n-2)²a(n-2) = (n-2)²(n-4)²a(n-4) = … = (n-2)²(n-4)²…4²･2²･a(2) = 0
したがって、f(n)(0) = (1･3･…･(n-2))² 【n：奇数】 ／ 0 【n：偶数】

【補足】
1･3･…･(n-2) = (n-2)!/(2･4･…･(n-3))
2･4･…･(n-3) = (2･1)･(2･2)･…･(2･(n-3)/2) = 2^((n-3)/2)･((n-3)/2)!
nP(n-r) = n!/(n-(n-r))! = n!/r!より、(n-2)!/((n-3)/2)! = (n-2)P((n-2)-((n-3)/2)) = (n-2)P((n-1)/2)
よって、1･3･…･(n-2) = ((n-2)P((n-1)/2))/(2^((n-3)/2))
(1･3･…･(n-2))² = ((n-2)P((n-1)/2))²/(2^(n-3))
とも表せる。

ナツミ

本当にありがとうございます😭