Question

あ

数Ⅱの問題です。121(1)(2)赤線部の根拠がそれぞれ分からないので教えて頂きたいです。

121a≧0,b≧0のとき,次の不等式を証明せよ。 また、等号が成り立教 p.54 問14
つのはどのようなときか｡
【まとめ 3
(1)* 3+a≥√9+6a
(2) 2√√a + 3√√b² √4a +9b

7y²
( x − 23/2 y)² + 1 — 1 v² ≥ 0
476304213(x-2)
よって
3x29xy-7y2
3
等号が成り立つのは,x-
x = 2 y =
y = 0 か
つy = 0, すなわち x=y=0のとき
である。
120 (1) a>0, />0であるから,
相加平均と相乗平均の関係より
a + 4 ≥ ² √a· 4 =
4
a
が成り立つ。
127
4
等号が成り立つのは a =
a
すなわち d=4のときで, a>0 よ
りa=2のときである。
b
(2) 1/30 />0であるから,4
a
相加平均と相乗平均の関係より
a
b
a b
> 2.
b + a b a
=24
が成り立つ。
a
b
等号が成り立つのは
b a
すなわち
= 62 のときで, a>0よ!
60 より
a=bのときである。
1
a 96
(3) (a + 3b)(²+2) = 6 + + 200
b
a
a
96
ここで,y>0,
>0 であるから,
a
相加平均と相乗平均の関係より
wel
96
a
96
a
=6
1 + ²
= 2√ b
b
a
a
が成り立つ。
よって
1/3)=6
≥ 6+6 = 12
b
が成り立つ。
96
a
等号が成り立つのは
b a
すなわち = 962 のときで, a > 0,
b>0 より α = 36 のときである。
121 (1) 両辺の平方の差を考えると
3
(a+36) (22
> (3+a)²-(√9+6a)²
=9+6a+α²- (9+6a)
=a² ≥ 0
したがって (+α)*≧( 9 +6a)。
3+a > 0,√9+6g > 0 であるから
3+a√9+6a
W.
等号が成り立つのは α = 0 のときで
ある。
(2) 両辺の平方の差を考えると
2
(2√a
+3√6)²-(√4a+9b)²
= 4a +12√ ab +9b-(4a+96)
8=12√ab 20
したがって
(2√a +3√6)² ≥ (√4a +9b )²
|0 ≤ 16-5
2√a +3√6 ≧0, 4a+96 ≧0である
から
Do+d+do = 2√a +3√6 ≥ √4a +9b
立つのは ab = 0 すなわ
0 または6=0 のときである。
122 両辺の平方の差を考えると
(17)
ASI
(|a+1|+ |a-1|)²-|24|2
= |a+1|+2|a+1||a-1|
+ |a-1|-|24|2
= (a + 1)² + (a − 1)² − (2a)²
+ 2| (a + 1)(a-1)|
= -2(a²-1)+2|a²-1| Jei
= 2{|α²-1|-(²-1)}
ここで, ²-1|-1 であるから
(a+1|+ |a-1|-|24|2≧0
したがって
(a +1|+ |a-1)≧ |24|2
a +1 + |a-1| = 0, |24| ≧0である
asr
la +1|+|a-1|≧|24|
等号が成り立つのは |-1| = -1
すなわち
-1≧0 のときであるから,
as -1, 1≦a のときである。
[参考] 教科書 p.54 の例題13より
|x|+|y|≧|x+y|
... 1
等号が成り立つのは xy ≧0のとき
であるから
2²²
1章 方程式・式と証明 (数学Ⅱ)
$1201/²2
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25

Answer 1

コノハズク

平方の差をとって大小を比較したさいに
平方の差が
a^2
12√ab
となっています。
今回は右辺左辺ともに正のため、平方の差が0であれば、元の数は等しいといえ、
等号が成立します。