Question

おしるこ

ベクトルの内積です。
写真の赤線において、
ただ書けるだけなのか、内積でやるのか、
どちらを使えばいいかわかりません。
どうすれば良いのですか？

第8章 ベクト.
256
基礎問
1-39
165 垂線の足のベクトル
原点を0とする座標空間に3点 A(1, 1, -1), B(2, -1. 1)
C(4, 5, -1)がある. このとき, 次の問いに答えよ。
(1) |OAI, IOBI, OA·OB, OB·OC, OC·OA の値を求めよ
(2) 3点 0, A, Bを含む平面を元とする.点Cから平面元へ下ろ
した垂線と平面の交点をHとする.このとき,
OH= sOA++OBと表せる. CHLOA, CHIOB を利用して
S, tの値を求めよ。
(2) まず, 図をかくことが必要ですが, 空間座標では点が軸上にあ
るなど,特殊なとき以外は座標軸はかきません. 必要だとしても
適当にかけば十分です. 小畑
精|請
次に,「直線1が平面元と垂直」とは「直線1が平面元上の任意の直線と垂
直」ということですが, π上のすべての直線を考えるわけにはいかないので,
「直線1が平面π上の平行でない2直線と垂直」 と
読みかえます。
これをベクトルで書きなおすと, 「直線/と平面元
上の1次独立な2つのベクトルと垂直」となります。
これが,条件の「CH1OA, CHIOB」です。
それでは,なぜ「OH=sOA+tOB」と表せるので
しょうか? それは, 4点 0, A, B, Hが同一平面上
にあるからです。
これはポイントにあるように2つの形があり, ベク
トルの始点が含まれるかどうかで使い分けます。
C
CH
A
'H
B
元
解答
8AO
(1) OA=(1, 1, -1), OB=(2, -1, 1)
OC=(4, 5, -1)より
1OA|=P+1°+(-1)=\3
1OB|=/2?+(-1)?+1°36
OA-OB=2-1-130
142
DA
0.始点を原点にとると
ベクトルの成分は終
on
点の座標と一致
160

座標空間に2点 A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり, AB を1辺と
第8章 ベクトル
254
礎問
164 四面体(I)
する正四面体 ABCD を考える。
(1) |ABI, AB·AC を求めよ。
(2) 辺ABをt:(1-)に内分する点をPとするとき, PC·pj
IPCPをまで表せ、
(3) 2CPD=0 とおくとき, cos0 を tで表せ.
(4) cos0の最小値と, そのときのtの値を求めよ。
(1) AとBしか与えられていないのに, AB·ACが求まるのか?と
思った人は問題文の読み方が足りません.
「正四面体」と書いてあります。 正四面体とは,どのような立体
でしょうか。
精講
E
(2) 163のポイントをもう一度読みなおしましょう.
(3) 空間でも,ベクトルのなす角の定義は同じです。
解答
(1) AB=(2, 1, 2) だから,
|AB|=V4+1+4=3
また,△ABC は正三角形だから,
ZBAC=60°, |AC|=|AB|=3
: AB-AC=|AB||AC|cos 60°
A
P
=3-3--
1
9
1-t
2
2
(2) PC=AC-AP=AC-tAB
B
PD=AD-AP=AD-tAB
C
PC-PD=(AC-tAB)·(AD-tAB)8AO4
=AC-AD-tAB-AC-tAB·AD+AABP
日 に
AACD, △ABD も正三角形だから
正四面体の性質
AC-AD=AB-AD=AB·AC=}
2