Question

しめじ

高校数学、微分の共通接線を求める問題です。
f'(x)とg'(x)を＝で結んでxの値を解いてはいけないのは何故でしょうか。
おそらくxが変数だからだとは思うのですが、何故、変数の場合＝で結べないのかが分かりません。

勝手にfとgを用いて表しているところはご了承ください。

L 人しu 旧 水り み。
● 417 2つの曲線 y=x°, y=ー(x-2)? の共通接線の方程式を求めよ。

9=ズ,サーー(スー2)。気適接線の方経で
for:
gca):-(スー2) <→ズtチスー4とろと
417
を求めよ
2
2
h)- 2人
g21に-2x14
特報が共適であるから、地)にが)が成立。
2 +4.
X=t
お焼切=2

数学 微分 共通接線 数2 数ii

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

そら

接点が共通だとは限らないからです。
説明のため、共通接線をlとします。
このとき、f(x)とlが接する点と、g(x)とlが接する点が一致するとは限りません。だからf'(x)=g'(x)という式が成り立つとは限りません。

なので、それぞれの接点のx座標を文字でおくのが良いと思います。例えばf(x)とlの接点のx座標をs、g(x)とlの接点のx座標をtとおきます。
このとき、f'(s)=g'(t)という式は成り立ちます。

ただ、実際に解くときはこの式を立ててもこの先詰まるかもしれません。個人的にオススメなのは、それぞれの関数について接線の方程式を作り、それらが共通であることから係数比較をしてsとtを求める方法です。

f(x)の接線の方程式は、
y=2s(x-s)+s²=2sx-s²
g(x)の接線の方程式は、
y=(-2t+4)(x-t)-t²+4t-4=(-2t+4)x+t²-4
共通接線なので係数比較をすると、
2s=-2t+4
-s²=t²-4
これらを連立して解くと、(s,t)=(0,2),(2,0)
よって求める接線の方程式は、
y=0,y=4x-4

それぞれの接点のx座標を文字で置くというのが大事かもしれません！

しめじ

ありがとうございます。大変助かりました！