Question

シチューデント

(1)で偶数と奇数の2通りに場合分けするのは何故ですか？

基本
例題118連続する整数の積の性質の利用
(1)連続した2つの整数の積は2の倍数である ことを証明せよ。
(2) 連続した3つの整数の積は6の倍数である ことを証明せよ。
(3) nが奇数のとき, nーnは 24の倍数であることを証明せよ。
なお,(2) では(1)の性質, (3) では(1), (2)の性質を利用してよい。
基本11
指針> (1), (2) 連続した2つの整数には偶数が, 連続した3つの整数には3の倍数が含ま。
① 連続した n 個の整数には, nの倍数が含まれる
この性質は証明なしに用いてもよいが, 基本例題117 と同じように考えてみよう。
(3) (1), (2) の性質が利用できるように, n°ーnを変形する。
nーnを因数分解すると
nーn=n(n°ー1)==n(n+1)(n-1)=(n-1)n(n+1)
解答
以下,kは整数とする。
会
(1) 連続する2つの整数を n, n+1とし, A=n(n+1) とする。<nが偶数なら AH
[1] n=2kのとき
[2] n=2k+1のとき A=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)
したがって, Aは2の倍数である。
A=2k(2k+1)
n+1は奇数。
n が奇数なら
n+1は偶数。
(2) 連続する3つの敷料

Answer 1

ゆりあん

偶数と奇数に分けることで、全ての整数を調べられるし、+1をするだけでどちらかが必ず偶数にもなるし奇数にもなるから。

偶数×偶数=偶数
偶数×奇数=偶数
奇数×奇数=奇数の性質を使うというのも理由になります。

偶数(2の倍数)ではなく、3の倍数でしてしまうと、全ての場合を考えるのに、3n、3n+1、3n+2で3通りの掛け算をしないといけないし、3nが必ずしも偶数や奇数と決まってるわけではないので、場合分けが難しいからです。