数学I.数学A 第3問~第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
数学I.数学A
第4問(選択問題)
(配点 20)
以下, x, yを①の整数解とし, さらに
A=2x+4y-5, B=-(4x+5y), C=2(3x+4y)°
不定方程式
5x+7y=1
とする。
の解となる整数x, yの組の中で, yの値が正で最小のものは
(1) 2を用いて, A, B, Cをそれぞれんで表して考えると
ア
イ
Aを6で割った余りは カ
X= ー
ソ=
であり,不定方程式 ①のすべての整数解は, kを整数として
Bを6で割った余りは
kが偶数ならば キ
kが奇数ならば
ク
ウエk-
オ
k+
イ
2)
X=
ア
ソ=
と表せる。
Cを6で割った余りは
コ
(数学I.数学A 第4問は次ページに続く。)
kが3の倍数ならば ケ,kが3の倍数ではないならば
である。
(2) A+B+C が6で割り切れる, かつ |x+y|<100 となるx, yの組の個数は
サシ個である。
(3) A>0, B>0, C>0 のとき, VA, JB, JC の3個の値のうち, つねに小数
ス|個である。
表示が循環しない無限小数になるものは
第4問 整数の性質
【解説)
不定方程式
よって
のとき
5x+7y=1
この
の解となる整数x, yの組の中で, yの値が正で最小のものは,
y=1, 2のとき, ①を満たす整数xは
4
ソ=
3
かつ
X=ー
存在しない。
よって,
あ お
…の
5(-4)+7·3=1.
である
の-Dより,
した
5(x+4)+7(y-3)=0
5(x+4)= -7(yー3).
5と7は互いに素であるから, kを整数として,
x+4=-7k, y-3=5k
と表
2
すなわち
-7k-4,
5
k+3.
x=
ソ=
(1) 2より,
A=2(-7k-4) + 4(5k+3)-5= 6k-1,
…3 A=2x+4yー5,上 さ
4×[ B=-(4x+5y),
C=2(3x +4y)
B=-{4(-7kー4)+5(5k+3)}=3k+1,
E
C=2{3(-7k-4) +4(5k+3)}?=2k?.
3より,
6k-1
A=6(k-1)+5
で
x(X1x1
Aを6で割った余りは
5
と表せるので, Aを6で割った余りは5
また,④より,lを整数として,
k=20のとき,
k=20+1のとき, B=3(20+1)+1=64+4.
よって, Bを6で割った余りは,
な
る である。
B=3·20+1=64+1,
kが偶数ならば
1
kが奇数ならば
4
さらに,⑤より, mを整数として, 出や焼さの掛の★
k=3m のとき,
C=2(3m)°=6-3m?,
30
1a
k=3m±1のとき, C=2(3m±1)。=6(3m°土 2m) +2.
(複号同順)
よって, Cを6で割った余りは,
kが3の倍数ならば
0
音楽
kが3の倍数ではないならば
2
二
30
(2) A, B, Cを6で割った余りをそれぞれra, TBs rcとおくと,
(1)より,
Ya=5,「ra=1 または rg=4」, 「rc=0 またはrc=2J.
- 24 -
よって,A+b+C が6で割り切れるのは,
A+B+C を6で割った余りさ。
ra=5, rB=1, rc=0
とおく、
のときである。
(アa, Ta Tc) = (5, 1, 0) のとき,
このとさ,
ア=0.
*(rA, Ya, rc) = (5, 1, 2) のとき,
TB=1 よりえは偶数,
r=2.
かつ
* (ra Ya, rc) = (5, 4, 0) のとき,
C対日r=3.
*(rA, Ta, ro) = (5, 4, 2) のとき,
Yc=0 よりんは3の倍数
であるから,
kは6の倍数。
r=5.
したがって, nを整数として,
さ10
したがって, A+B+Cが6で割り
小 す
切れるのは,
k=6n
と表せるから,
=5, Tョ=1, rc=0
x+y|<100 小r さ のときのみである。
1(-7-6n-4) + (5-6n+3)|<100 ついるAV
|-12n-1|<100
格
x=-7k-4, y=5k+3
のそれぞれに k=6n を代入した。
-100< -12n-1<100
101
くnく
12
99
12°
【税)
6を満たす整数nは,
n=-8, -7, -6,…, 6, 7, 8
99
=8.25,
12
101
-=-8.41….
12
剣
であり,全部で 17個ある。
よって, A+B+Cが6で割り切れる, かつ |x+y一<100 と
求めるx, yの組の総数は, ⑥ を満た
すnの個数と等しい。
なるx, yの組の個数は
17個である。
剣
小数表示が循環しない無限小数になる
数とは無理数のことである。
(3)VAが無理数ではないと仮定すると, 互いに素である自然数
a, bを用いて VA= とおける。 このとき,
a
A=
また、P
であり,左辺は整数であるから, aとbが互いに素であること
を考慮すると b=1 である。
よって,
EAA るケ三 定 0AA
A=d ケき 円代 んA 中
を満たす自然数aが存在する.
ここで,jを整数として,
a=3jのとき,
a=3j±1のとき, α'=(3j±1)?=3(3,°±2j) +1
V ゆ
=(3)=3-3°,
中の 3 ケふ つん4お
(複号同順)
であるから,
を3で割った余りは0または1.A ケ中つ o das
一方,Aを6で割った余りは5であるから,
25
理解できました！ありがとうございます🙇🏼♀️