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今、
l : 変数、l₀ : 定数、壁に原点がある、バネは縮むと右向き、伸びると左向きに力がかかる。
これらの事に注意して下さい。
今の場合、右向きを正とすると
バネが自然長よりも縮む、すなわち、
l₀>lの場合、右向きに力がかかるので、バネの力は
k(l₀-l)>0 と表せて、
バネが自然長よりも伸びる、すなわち、
l₀<lの場合、左向きに力がかかるので
k(l₀-l)<0 と同様にして表せます。
わかりにくかったらすいません。
基本、「自然長からの伸びが…」や原点と座標を問題文で設定される場合(例えば、力のつり合い位置を原点、そこからの変位をx…)の場合では"-kx"でいいと思います。
今回の場合のような"自然長からの伸び"ではなく"バネそのものの長さ"を言われている(今回の場合はl)ときは、バネの自然長からの伸びを表さなければならないので"k(l₀-l)"などとします。
わかりにくかったらすいません。
なるほど！全然わかりやすいですよ！
親身になって答えてくださって凄く嬉しいです！
X軸の設定は伸びてる方向を正の方向にした方が無難ですか?
自分の場合は、縦だけの運動なら軸は1つしか取らなくて良いので、その時の気分や問題に合わせたりします。縦と横の運動や力を考えなければいけないときは、x、yの軸は常に
y
L x
の位置関係を守りながら任意に回転させてます(なんとなく気持ちが悪いので…)。例えば、/ という向きの斜面ならx軸が斜面に沿う方向、y軸の方向が斜面上向きになるように左回転、\という向きの斜面なら、前の例と同様の感じで考えると、右回転させて…といった感じです。
ありがたいです！
発展見ましたー大学ではこんなこともやるんですねすごい！
最後に質問なんですが、鉛直ばね振り子の問題で力のつり合いの位置を原点として運動方程式を立てるときのXは座標かばねの伸びなのかどっちなのでしょうか?混乱してます🥸
おまけで書いた
座標xは自然長を原点に取っているときの座標でバネの伸びを考えているもの
座標Xは振動中心(力のつり合い位置)を原点に取ってるもの
の違いを見てもらうためにおまけを載せました。
よくあるのが
問1 x座標 (ここで力のつり合い位置x₀を求める)
問2 X座標
で考えるパターンで問1の最後らへんに文言で「問2からはx₀を原点にとる」と書いてあると思います。それがx→Xの変換の目印です。わかりにくかったらすいません。
めっっっっっっちゃわかりやすいです！
出てきたXは自分で定めた原点からの距離を表すといってもいいっていうことですね
自分で設定するときはつり合いの位置か自然長の位置かどちらを原点に設定するのが無難でしょうか?
あと、写真のx座標における運動方程式と書いてある振動中心を原点、自然長を原点としてる両式で例えば、振動の中心を知りたくて加速度a=0にするとどちらもx=mg/kになりますよね？そうすると座標にズレが起きてしまうのではないかと思ったんですが、そう考えるとやっぱりXはばねの伸びと考えるべきなのかなと思ってたりしてます
むずいです！笑
問題集の解答とかを見てみると鉛直ばね振り子の問題は必ずと言っていいほどなんの証明もなくつり合いの位置が振動中心になると言っていて本当にそうなのか…？と思ったりもしてます
今回貼ってもらった問題のようにバネの端を原点に取っている場合は注意しなければなりません。
それ以外では最初、問題文に合わせて自然長で原点をとったとしても、変換を行えば必ず
ma=kX
になるので、設定はその都度、問題文に合わせるといった感じでいいと思います。
行っているのは都合の良いただの座標変換です。加速度a=0としたとき
x-x₀=0
↑↓
X=0
というおまけの③の操作を行なっているだけなので問題ありません。
本当に理解力が乏しくてごめんなさい🙏
今日でしっかりと理解したいです。
例えばこの問題だと運動方程式を立てて振動中心を求めた結果x0=aとわかったのですが解答ではO点が振動中心となっているため自分の中でｘは自然長からの伸びなのでは…？という誤解が出てきてしまいました。そうしないと辻褄が合わないと思ったからです。この後O点を振動中心にするために自分の頭の思考回路を修正して欲しいです。
つまり、xとXという座標はどちらもバネの伸びを表しますが自然長からみるか振動中心から見るの違いです。
例えば、変換したXで振幅X₀の振動を行ったとき(振動の端はX座標でみるとX=X₀とX=-X₀)、自然長を原点とする座標xに戻す作業をすると、振幅の端のx座標はそれぞれ
x-x₀=X
より
x=±X₀+x₀
=X₀+x₀, -X₀+x₀
となるだけです。
つり合いの位置を原点とする座標で考えるときは、自然長を原点にする座標での運動からつり合いの位置を原点にする座標での運動に変換すれば良いということですか？！
そうなると自然長を原点とする座標のXはばねの伸びということになりますよね？！？！
前述しましたがどちらもバネの伸び縮みを表すことに変わりはありません。自然長からみるか振動中心から見るの違いです。
変換は必要ないということですか?
考え中さんが書いてくれた画像のように自然長を原点にしたときとつり合いの位置を原点にしたときの両方を考えて、場合に合わせてお互いに変換していくってことじゃないんですか?
自分の言いたいことはこうです。
自然長の位置を原点にした時と、つり合いの位置を原点にした時に立てる運動方程式は式だけで見たら同じになって、つり合いの位置を考えて加速度=0にして解き進めてしまうとしまうとズレが生じてしまうから、じゃああくまでもこのxはばねの自然長からの伸びでつり合いの位置が原点の運動を考える際はそのxを変換したら同じ式になりますよね、じゃあやっぱり自然長から見た時とつり合いの位置から見たときの違いだけですよねってことです。
まず、座標変換を行うのは
自然長からみた運動方程式 ①
↑↓
振動中心からみた運動方程式 ②
の変換が自由に行えるからです。
最初から直接、振動中心からみた運動方程式を立てるならば、
(力のつり合い位置)+(振動からのバネの伸び)を考えなければいけません。これを考えなければ、力がつり合うときのバネの力が消えてしまう事になります。
最初から振動中心からみた運動方程式をたてると
ma=-k(a+x)+mg=-kx
これは②と一致します。②の利点は重力の影響を考えなくていいこと。(振動中心における力学的エネルギー保存則からも明らか)
①は運動方程式に重力を含みます(力学的エネルギー保存則からも明らか)。
ズレが生じてしまう原因は力がつり合うときのバネの力を考えていないことだと思います。
なるほど！すべてつながりましたー！やっとわかりました！
基本概念がわかって標準問題がすらすら解けるようになりました
本当に感謝しかないです！2日間も真剣に考えてくださって感謝です😎
なるほど！正負は結局同じになるわけですね！めっちゃわかりやすいです！聞きたいんですが、
Ｘ軸の設定は何かコツとかはありますか？
あと何処かの授業でばねの伸びは定性的に正の方向にーkxとしろ！とか言われたんですがそれはあっているのでしょうか?