交代式というやつですが、原理がわかってないと使いこなせないと思いますので、特殊な公式に頼るのは危険です。
一応説明だけしておきます。
x³(y-z)+y³(z-x)+z³(x-y)
はx,y,zのうち、xとyを入れ替えると
y²(x-z)+x³(z-y)+z³(y-x)
＝-y³(z-x)-x³(y-z)-z³(x-y)
と-1倍になります。
このように、ある文字を入れ替えると-1倍になる式を交代式といいます。
この交代式は、因数分解すると必ず(x-y)(y-z)(z-x)という因数を持ちます。
つまり、与式を因数分解すると
x³(y-z)+y³(z-x)+z³(x-y)
＝k(x-y)(y-z)(z-x)×f(x,y,z)
となります。ちなみに、kは実数倍のこと、f(x,y,z)は(x-y)(y-z)(z-x)とは別の因数のことです。
与式は交代式であり、(x-y)(y-z)(z-x)は交代式なので、f(x,y,z)は対称式にならなければなりません。
ちなみに対称式とは、xとyを入れ替えても同じになる式です。
与式の最高次数は4次になります。
(x-y)(y-z)(z-x)の次数は3次なので、f(x,y,z)は1次の対称式と分かります。
つまり、f(x,y,z)＝x+y+zと確定します。
x³(y-z)+y³(z-x)+z³(x-y)
＝k(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
右辺のx³zの係数が-1
左辺のx³zの係数が+1だから、k＝-1
よって、与式を因数分解すると
-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
となります。
何をやっているかわからなければ、これを公式として使うのはやめた方がいいです。
