ガウス記号の性質です。
3がなぜ成り立つのかわかりません。
教えて下さい。
✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
xの整数部分をa、小数部分をbとしたとき
[2x]=[2a+2b]=2a+[2b] (性質1より)
ここで[2b]は0か1をとります。0か1になるかはbが0以上0.5未満か0.5以上1未満で場合分けされます。
ここで性質3の[x+1/2]は
①bが0以上0.5未満のとき a
②bが0.5以上1未満のとき a+1
になるように0か1の分け目である0.5すなわち1/2を加えたものです。
なんとなく理解できるでしょうか。
高校のガウス記号は[ ]ではなく、床関数(ガウス記号と同じ)の書き方をするのですね。興味があれば天井関数まで知っておくとよいかもしれません。
これは四捨五入を思い出すといいです.
***
x=[x]+ε[εは小数部分]と表すことにします. このときx+1/2=[x]+1/2+ε, 2x=2[x]+2ε[最初の式を2倍した]で表せます.
0≦ε<1/2ならば, [x]<x+1/2=[x]+1/2+ε<[x]+1, 2[x]≦2x=2[x]+2ε<2x+1なので, [x]+[x+1/2]=[x]+[x]=2[x]=[2x].
1/2≦ε<1ならば, [x]+1≦x+1/2=[x]+1/2+ε<[x]+2, 2[x]+1≦2x=2[x]+2ε<2[x]+2なので, [x]+[x+1/2]=[x]+([x]+1)=2[x]+1=[2x].
とそれぞれ評価し, 等式の成立を示すことができます.
[研究]
周期性に注目した解き方もあります. これは一般化された関係[nx]=Σ[k=0->n-1][x+k/n]を簡単に示せます.
実数関数f(x):=[nx]-Σ[k=0->n-1][x+k/n]とします.
0≦x<1/nのときf(x)=0で, 周期性f(x+1/n)=f(x)と合わせるとすべての実数xでf(x)=0がいえて等式は示されました.
[訂正と確認]
・0≦ε<1/2ならば,…2[x]≦2x=2[x]+2ε<2[x]+1 [[2x]の整数部が明確に2[x]であることを示す必要があります. 他も同様です.]
・実関数f(x):=[nx]-Σ[k=0->n-1][x+k/n]
***
0≦x<1/nのとき[nx]=0, 0≦k<n-1のすべてのkに対して[x+k/n]=0なのでf(x)=0.
このときf(x+1/n)=[nx+1]-Σ[k=0->n-1]][x+(k+1)/n]=[nx+1]-{Σ[k=0->n-1][x+k/n]+([x+1]-[x])} [余剰な項を調整する.]
=([nx]+1)-([nx]+1)=0. [最後に性質1を使っています.]
あとは帰納的に…, -1/n≦x<0, 0≦x<1/n, 1/n≦x<2/n, …と実数全体で等式が成立することがいえます.
わかり易い説明をありがとうございます😊
xの小数部分をpとおくと
p<0.5のとき 2x<2[x]+1 から [2x]=2[x], [x+0.5]=[x].
よって 2[x]=[x]+[x], すなわち [2x]=[x]+[x+0.5] が成り立つ.
p>=0.5のとき 2x>2[x]+1 から [2x]=2[x]+1, [x+0.5]=[x+1].
よって 2[x]+1=[x]+[x]+1, すなわち [2x]=[x]+[x+0.5] が成り立つ.
題意が示せた。
เมื่อดูคำถามนี้แล้ว
ก็จะเจอคำถามเหล่านี้ด้วย😉
わかり易い説明をありがとうございます😊