『質量』というのは物体そのものが持つものです。
質量に重力加速度をかけて初めて『重さ』になるのです。
この『重さ』というものは『力』です。
そして、その『力』の単位というのは《𝐍(ニュートン)》で表されます。
普段、𝑭=𝒎𝒈 という形で表されるのを目にすると思いますが、この式を見た通り、𝑭 (力)は 𝒎 (質量)に比例します。
その条件を問題文に表した部分が「質量𝟏𝟎𝟎 𝒈 の物体にはたらく重力の大きさを𝟏𝐍とする」です。
これは、『質量』𝟏𝟎𝟎 𝒈 が『力』𝟏𝐍に比例することを表しています。
したがって、この条件を使えばわざわざ重力加速度 𝒈 を使わなくても解けてしまうというわけです!