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F(1)=x²となった後、このx²をWの線形結合で表したいから変形します。
x²=a+b(x-1)+c(x-1)²
と表せるはずで右辺を展開すると
x²=(a-b+c)+(b-2c)x+cx²
係数比較して
a-b+c=0, b-2c=0, c=1より
c=1, b=2, a=1
よって
x²=1+2(x-1)+(x-1)²
となる。
慣れれば
(x-1)²=x²-2x+1の変形x²=(x-1)²+2x-1
c(x-1)=cx-c⇔cx=c(x-1)+c特にx=(x-1)+1
などを用いてそのまま
x²=(x-1)²+2x-1
=(x-1)²+2(x-1)+1
とできるかもしれない。
すみません、勘違いしてました。
Vの基底f(x)=1という定数関数について
f'(x)=0, f"(x)=0
f(1)=1, f'(x+1)=0
よって
F(f(x))=2xf"(x)-f'(x+1)+x²f(1)
F(1)=2x∙0-0+x²∙1
これも慣れれば
F(3x-5)=2x(3x-5)"-f'(x+1)+x²(3∙1-5)
=2x∙0-3-2x²
=-2x²-3
※f'(x+1)が少しやっかい。
f'(x)=(3x+1)'=3と求めた後にx→x+1と代入
F(2x²-3x)=2x(2x²-3)"-{4(x+1)-3}+x²(2-3)
=2x∙4-4x-1-x²
=-x²+4x-1
細かい解説のおかげで全てできました！ありがとうございました！
回答ありがとうございます。申し訳ありませんが、写真の赤線部分(下記の)等号がどう成り立つか教えていただけると幸いです。
F(1)=x^2
F(3x-5)=-2x^2-3
F(2x^2-3x)=-x^2+4x-1
F(x^3-2x^2+4)=12x^2-10x+1
私の日本語が下手で再度の質問となり申し訳ありません。