総合 AB=x, AD=y, AE=zである直方体 ABCDEFGH が空間内にある。 直方体の対角線 AG
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の長さを3, 表面積Sを16とするとき
(1)x+y+zの値を求めよ。
(2) y+zyz をxの式で表し, xを用いて y, z を解とするtの2次方程式を作れ。
(3) xの値のとりうる範囲を求めよ。
[類 長崎大]
(4) この直方体の体積をVとするとき, Vの最大値および最小値を求めよ。 また、そのときの
xの値を求めよ。
(1) AG=3から
x2+y2+22=9
直方体の表面積が16であるから
←関係式を立てる
(x+y+z)2=(x2+y2+22)+2(xy+y+zx)200+ (
2xy+2yz+2zx=16
よって
xy+yz+zx=8
①
ゆえに
=9+2・8=25
x+y+z > 0 であるから
Bago
x+y+z=5
②
(2)②から
y+z=-x+5
よって, ① から
本冊 数学Ⅱ例題 69,230
A
-N---
D
B
G
E
yz=8-x(y+z)=8-x(-x+5)=x-5x+8 ...... ③
③ia
ゆえに,y,zを解とするtの2次方程式の1つは'nfeine
t2+(x-5)t+x²-5x+8=0
(3)x2+y2+z2=9から
so
0<x<3, 0<y<3, 0<z<3
h(t)=t2+(x-5)t+x2-5x+8とし, tの2次方程式h(t) = 0
が 0 <t<3の範囲に実数解をもつ条件を調べる。
←2-(和)+(積)=0
これぞ
調べずにやると...?
Y=h(t) のグラフは直線t=-
x-5
を軸とする下に凸の放物
Y=h(t)
2
線で0<x<3のとき1<-x515から0<x<3
2
2
2
5
2
+
7
0
3
また
h(0)=x2-5x+8=(x-
+ ->0,
2
4
5-%
2
h(3)=x²-2x+2=(x-1)^+1>0
よって, 2次方程式h(t)=0が0<t<3の範囲に解をもつ条件
は, h(t) =0の判別式Dについて
ここで
D≧0
D=(x-5)2-4・1・(x2-5x+8)=-3x2+10x-7
←y=z すなわち
(t)=0が重解の場合も
ある。
=-(x-1)(3x-7)
総合
