例題41
kは定数とする。 次の2つの2次方程式
x2-kx+k2-3k=0
......
①, (k+8)x2-6x+k=0
について,次の条件を満たすkの値の範囲をそれぞれ求めよ。
①,② のうち,少なくとも一方が虚数解をもつ。
(2) ①,② のうち, 一方だけが虚数解をもつ。
「指針
②
)については, 2次方程式であるから, x2 の係数について, +8≠0に注意
①②の判別式をそれぞれD1, D2 とすると, 求める条件は
→
(1) D1 <0 または D2<0 -
解を合わせた範囲 ( 和集合)
重要
(2) (D1 < 0 かつD2≧0) または (D1≧0 かつD2<0) であるが, 数学Ⅰでも学習
うに, Di < 0, D2 <0 の一方だけが成り立つ範囲を求めた方が早い。
チャート式基礎からの数学Ⅰ+Ap.200 参照。
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
xの方
めよ。
指針
②の2次の係数は0でないから +8≠0 すなわちん キ-8 普通, 2次方
解答 このとき,①,②の判別式をそれぞれ D, D, とすると
D=(-k)2-4(k2-3k)=-3k2+12k=-3k(k-4)
ax²+bx+c=\
うときは、特に
解答
ない限り, 2次の
D2=(-3)2-(k+8)k=-k-8k+9+ (SS)=SIは0でない
4
=-(k+9)(k-1)
(1) 求める条件は,kキー8のもとで
D1 <0 またはD2<0
る。
D₁<05 k(k-4)>0
ゆえに k<0,4<h+s
k≠-8であるから
<-8,-8<k<0.4<k.
の方
③④
D<0 から (k+9)(k-1)>0
③
よって k<-9,1<k
.....
4508=-9-8
014
求めるんの値の範囲は,③と④の範囲を合わ
せて k<-8,-8<k<0, 1<k
> * 0>0
(2)①,②の一方だけが虚数解をもつための条件
は, D.<0, D2<0 の一方だけが成り立つことで
3
ある。
ゆえに③④の一方だけが成り立つの範囲で実として塩を
を求めて-9≦k<-8,-8<<0, 1<k≦4
-9-8
01
